[论文解读] On refined conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer type for Hasse-Weil-Artin L-series

David Burns, Daniel Macias Castillo|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 78被引用 5

一句话总结

本文为一般数域上阿贝尔簇的Hasse-Weil-Artin L函数提出了改进的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，统一了通过Deligne-Gross猜想得到的阿基米德不变量与通过Mazur-Tate双扩张高度配对得到的p进同余关系。该研究建立了与等变Tamagawa数猜想的深刻联系，并在特殊情形下提供了理论与数值证据，同时纠正了Bradshaw与Stein关于Heegner点猜想中的一项不一致之处。

ABSTRACT

We consider refined conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer type for the Hasse-Weil-Artin L-series of abelian varieties over general number fields. We shall, in particular, formulate several new such conjectures and establish their precise relation to previous conjectures, including to the relevant special case of the equivariant Tamagawa number conjecture. We also derive a wide range of concrete interpretations and explicit consequences of these conjectures that, in general, involve a thoroughgoing mixture of difficult archimedean considerations related to refinements of the conjecture of Deligne and Gross and delicate p-adic congruence relations that involve the bi-extension height pairing of Mazur and Tate and are related to key aspects of non-commutative Iwasawa theory. In important special cases we provide strong evidence, both theoretical and numerical, in support of the conjectures. We also point out an inconsistency in a conjecture of Bradshaw and Stein regarding Zhang's Theorem on Heegner points and suggest a possible correction.

研究动机与目标

• 为一般数域上阿贝尔簇的Hasse-Weil-Artin L函数提出新的改进Birch和Swinnerton-Dyer猜想。
• 阐明这些改进猜想与等变Tamagawa数猜想之间的关系。
• 推导出涉及阿基米德周期与Mazur和Tate双扩张高度配对相关的p进同余关系的明确结果。
• 在重要特殊情形下为猜想提供理论与数值证据。
• 识别并修正Bradshaw与Stein关于Zhang定理在Heegner点上的猜想中存在的一项不一致之处。

提出的方法

• 作者使用Selmer复形——特别是Nekovář-Selmer复形与完美Selmer结构——来构造编码算术不变量的全局伽罗瓦上同调对象。
• 通过群环上同调中的导出范畴构造引入Bockstein配对，将上同调群与伽罗瓦模结构联系起来。
• 该方法结合周期与伽罗瓦-Gauss和，将L函数的特殊值与阿基米德不变量关联起来。
• 应用Poitou-Tate对偶性与显式复形，建立伽罗瓦上同调中局部与全局对偶性的关系。
• 通过对数解析元与显式正规化矩阵，将经典与p进正规化整合到框架中。
• 通过Mazur和Tate的双扩张配对，建立p进L值与高度配对之间的同余关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在Hasse-Weil-Artin L函数的背景下，将Birch和Swinnerton-Dyer猜想改进，以同时考虑阿基米德与p进不变量？
• RQ2 改进的BSD猜想与等变Tamagawa数猜想之间的确切关系是什么？
• RQ3 在特殊L值的背景下，Mazur和Tate的双扩张高度配对与p进同余如何相互作用？
• RQ4 改进的猜想在何种意义上反映了阿贝尔簇的非交换Iwasawa理论？
• RQ5 根据Zhang定理，对Bradshaw与Stein关于Heegner点的猜想应如何修正？

主要发现

• 本文提出了一个新改进的BSD猜想，统一了通过Deligne-Gross型猜想得到的阿基米德周期与涉及双扩张高度配对的p进同余关系。
• 证明了改进猜想在相关设定下蕴含经典BSD猜想，并与等变Tamagawa数猜想相容。
• 推导出L函数首项系数的显式预测，涉及正规化、Tamagawa数与伽罗瓦模结构。
• 建立了在模p^m约化下Bockstein配对的相容性结果，将p进与整数上同调不变量联系起来。
• 针对Bradshaw与Stein的猜想提出修正，表明其陈述的同余关系与Zhang定理在Heegner点上的结论不一致。
• 在重要情形（如模形式阿贝尔簇）中，猜想得到了理论推导与数值证据的双重支持。