[论文解读] On regularity of complex Monge-Ampere equation

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文在 $ p > n^2 $ 的条件下，针对有界区域中复 Monge-Ampère 方程解的复拉普拉斯算子 $\triangle u$ 的 $ L^p $ 有界性，建立了内部 $ C^2 $ 估计，并通过构造 Pogorelov 型显式例子，得到了 $ \mathbb{C}^n $ 中 $ \det(u_{i\bar j}) = 1 $ 的广义解与粘性解，证明了正则性所需的 $ L^p $ 可积性阈值是精确的。

ABSTRACT

We shall consider the regularity problem of solutions for complex Monge-Ampere equations. First we prove interior $C^2$ estimates of solutions in a bounded domain for complex Monge-Ampere equation with assumption of certain $L^p$ bound for Laplacian u, and of Lipschitz condition on right hand side. Then we shall construct a family of Pogorelov-type examples for complex Monge-Ampere equation. These examples give generalized entire solutions (as well as viscosity solutions) of complex Monge-Ampere equation $\det(u_{i\bar j})=1.

研究动机与目标

• 在 $ p > n^2 $ 的条件下，针对有界区域中复 Monge-Ampère 方程的解，建立复拉普拉斯算子 $ \triangle u $ 的 $ L^p $ 有界性下的内部 $ C^2 $ 估计。
• 通过构造反例，证明 $ L^p $ 阈值 $ p > n^2 $ 对于 $ C^2 $ 正则性是精确的。
• 通过 Pogorelov 型例子，在 $ \mathbb{C}^n $ 中构造 $ \det(u_{i\bar j}) = 1 $ 的广义解与粘性解。
• 澄清当 $ p \leq n^2 $ 时，即使右边光滑，$ C^2 $ 估计仍会失效。
• 证明所构造的解属于 $ W^{2,p}_{\text{loc}} $ 且在 $ \mathbb{C}^n $ 中局部属于 $ C^{\alpha}_{\text{loc}} $，其中 $ \alpha = 2/n $，但不会更光滑。

提出的方法

• 通过受 Ivochkina 和 Schulz 启发的积分方法，证明在 $ \|\triangle u\|_{L^p(\Omega)} < \infty $ 且 $ p > n^2 $ 的假设下，建立内部 $ C^2 $ 估计。
• 在 $ \mathbb{C}^n $ 中构造一族 Pogorelov 型例子，形式为 $ u^\epsilon = (1 + \sum |z_i|^2)(|w|^2 + \epsilon)^{1/n} $，当 $ \epsilon \to 0 $ 时收敛于极限函数。
• 证明极限函数 $ u^0 = (1 + \sum_{i=1}^{n-1} |z_i|^2)|z_n|^{2/n} $ 在广义（Bedford-Taylor）和粘性意义下满足 $ \det(u_{i\bar j}) = 1 $。
• 通过在紧集上 $ C^{\alpha} $ 与 $ W^{2,p} $ 范数的收敛性，验证当 $ F \to 1 $ 在 $ L^\infty $ 中时，极限为广义解。
• 通过在 $ |w| = 0 $ 处测试次与超喷射，验证粘性解性质，表明不存在 $ C^2 $ 函数可在该点取得 $ u - v $ 的局部最大值。
• 证明所构造的解在 $ \alpha > 2/n $ 时不为 $ C^{2,\alpha} $，从而确认正则性阈值的精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{C}^n $ 中，复 Monge-Ampère 方程的 $ \triangle u $ 的最优 $ L^p $ 可积性条件是什么，才能保证内部 $ C^2 $ 估计？
• RQ2 是否可以为复 Monge-Ampère 方程构造 Pogorelov 型例子，以证明在某一 $ L^p $ 阈值以下时 $ C^2 $ 正则性会失效？
• RQ3 通过 Pogorelov 型极限构造的广义解是否为粘性解？
• RQ4 广义解 $ u^0 = (1 + \sum_{i=1}^{n-1} |z_i|^2)|z_n|^{2/n} $ 在 $ \mathbb{C}^n $ 中的精确 Hölder 正则性是什么？
• RQ5 当 $ p \leq n^2 $ 时，$ C^2 $ 估计的失效是否在右边光滑时仍然存在？

主要发现

• 在有界区域 $ \Omega $ 中，若 $ \|\triangle u\|_{L^p(\Omega)} < \infty $ 且 $ p > n^2 $，则复 Monge-Ampère 方程 $ \log\det(u_{i\bar j}) = F $ 的解满足内部 $ C^2 $ 估计，估计常数依赖于 $ \Lambda = \|F\|_{C^1} $、$ \Omega $、$ \Omega' \subset\subset \Omega $、$ p $ 和 $ n $。
• 阈值 $ p > n^2 $ 是精确的：当 $ p \leq n^2 $ 时，$ C^2 $ 估计不成立，这由 Pogorelov 型例子所证实。
• 广义解 $ v(z) = n^{2/n}(1 + \sum_{i=1}^{n-1} |z_i|^2)|z_n|^{2/n} $ 在 $ \mathbb{C}^n $ 中以 Bedford-Taylor 意义满足 $ \det(u_{i\bar j}) = 1 $。
• 该解为粘性解，通过在奇点集 $ |z_n| = 0 $ 处测试次与超喷射得到验证，表明不存在 $ C^2 $ 函数可在该点取得 $ u - v $ 的局部最大值。
• 该解属于 $ W^{2,p}_{\text{loc}}(\mathbb{C}^n) $ 对所有 $ p < n $，且属于 $ C^{\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{C}^n) $，其中 $ \alpha = 2/n $，但不属于任何 $ \alpha > 2/n $，从而确认了 Hölder 正则性的精确性。
• 该构造可推广至 $ \mathbb{C}^{n+1} $，得到满足 $ \det(u_{i\bar j}) = 1/(n+1)^2 $ 的解，其正则性与可解性性质类似。