[论文解读] ON RELATIONS BETWEEN URBANIK AND MEHLER SEMIGROUPS

Zbigniew J. J U R E K|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文证明了算子自可分测度在巴拿赫空间上诱导出有界线性算子的广义梅勒半群，并将其表示为关于利维过程的算子值函数的随机积分。主要贡献在于将广义梅勒半群理论从希尔伯特空间推广至巴拿赫空间，并为它们的随机积分表示提供了新证明。

ABSTRACT

It is shown that operator-selfdecomposable measures or, more precisely, their Urbanik decomposability semigroups induce general- ized Mehler semigroups of bounded linear operators. Moreover, those semi- groups can be represented as random integrals of operator valued functions with respect to stochastic Levy processes. Our Banach space setting is in contrast with the Hilbert spaces on which so far and most often the general- ized Mehler semigroups were studied. Furthermore, we give new proofs of the random integral representation.

研究动机与目标

• 研究乌尔班尼克可分性半群与广义梅勒半群之间的关系。
• 将广义梅勒半群理论从希尔伯特空间推广至巴拿赫空间。
• 为这些半群提供一种新的随机积分表示形式，涉及算子值函数和利维过程。
• 为广义梅勒半群的随机积分表示提供新颖的证明。

提出的方法

• 利用算子自可分测度生成底层半群结构。
• 在巴拿赫空间上定义广义梅勒半群为有界线性算子。
• 通过算子值函数关于随机利维过程的随机积分来表示这些半群。
• 在巴拿赫空间框架下应用泛函分析技术，与以往基于希尔伯特空间的设定不同。
• 通过测度论和算子论论证，建立乌尔班尼克半群与所得广义梅勒半群之间的联系。
• 在巴拿赫空间设定下，为随机积分表示提供替代且严谨的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 算子自可分测度在巴拿赫空间中如何与广义梅勒半群相关联？
• RQ2 广义梅勒半群能否在巴拿赫空间中表示为算子值函数关于利维过程的随机积分？
• RQ3 利维过程在构造此类半群中起什么作用？
• RQ4 在此背景下，巴拿赫空间框架与希尔伯特空间设定有何不同？
• RQ5 为这些半群的随机积分表示所提供的新证明具有何种含义？

主要发现

• 算子自可分测度在巴拿赫空间上诱导出有界线性算子的广义梅勒半群。
• 广义梅勒半群可表示为算子值函数关于随机利维过程的随机积分。
• 这些半群在巴拿赫空间框架下构建，扩展了以往局限于希尔伯特空间的结果。
• 本文为这些半群的随机积分表示提供了全新且独立的证明。
• 该框架通过算子值随机积分，直接建立了乌尔班尼克可分性半群与广义梅勒半群之间的联系。