[论文解读] On Relative Ranks of the Semigroup of Orientation-preserving Transformations on Infinite Chains

Ilinka Dimitrova, Jörg Koppitz|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2020

semigroups and automata theory参考文献 20被引用 2

一句话总结

本文确定了无限链 X 上保向变换半群 OP(X) 对保序变换子半群 O(X) 的相对秩。通过使用序同构及精心构造的变换，作者证明 OP(X) 由 O(X) 与一个额外的保向变换 γ∗ 生成，从而确立 rank(OP(X) : O(X)) = 1。

ABSTRACT

In this paper, we determine the relative rank of the semigroup OP(X) of all orientation-preserving transformations on infinite chains modulo the semigroup O(X) of all order-preserving transformations.

研究动机与目标

• 确定无限链 X 上保向变换半群 OP(X) 对保序变换子半群 O(X) 的相对秩。
• 扩展对无限变换半群生成集的理解，特别是当全局秩为不可数时的情形。
• 利用序同构与理想结构，将有限链上关于保向变换的结果推广至无限情形。
• 确立仅需一个额外变换即可从 O(X) 生成 OP(X)，尽管两者均为不可数半群。

提出的方法

• 构造一个典范代表 γ∗ ∈ OP(X) \ O(X)，其具有唯一理想 [a, c)，并利用序同构 ν, µ1, µ2 定义其在 X 上的作用。
• 通过序同构与复合运算定义辅助变换 δ, θ1, θ2, 和 θ2,1/θ2,2，以操控像与定义域。
• 使用变换 β∗ = η1βη2 将任意 β ∈ OP(X) \\(O(X) 映射至 OP∗(X)（即像在 [a,b] 内的保向变换）中的典范形式。
• 通过 θ1 与 θ2 的共轭作用恢复 β，证明 β = θ1β∗θ2 ∈ ⟨O(X), γ∗⟩。
• 确立 O(X) 生成保序部分，γ∗ 生成其余结构，从而证明 OP(X) = ⟨O(X), γ∗⟩。
• 运用对偶性论证，覆盖 X 有最大元但无最小元的情形，确保结果在所有无限链上普遍成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限链 X 上保向变换半群 OP(X) 对保序变换子半群 O(X) 的相对秩是多少？
• RQ2 相对秩能否缩减为有限值？若是，是否恰好为 1，尽管 OP(X) 的全局秩为不可数？
• RQ3 如何将 OP(X) \ O(X) 中的变换表示为仅含 O(X) 与一个额外生成元的复合？
• RQ4 序同构与无限链中的理想结构在构造此类最小生成集方面能发挥多大作用？

主要发现

• OP(X) 对 O(X) 的相对秩恰好为 1，即 rank(OP(X) : O(X)) = 1。
• 存在一个唯一的保向变换 γ∗ ∈ OP(X) \ O(X)，使得 OP(X) = ⟨O(X), γ∗⟩。
• 对任意 β ∈ OP(X) \ O(X)，变换 β 可重构为 β = θ1β∗θ2，其中 β∗ ∈ OP∗(X) 且 θ1, θ2 ∈ O(X)，且 β∗ ∈ ⟨O(X), γ∗⟩。
• 该构造依赖于序同构 τ1 : (a,b) → (a,∞) 与 τ2 : I → Y′，其中 I 是 im β 的凸包，用于将像映射至标准区间 [a,b]。
• 通过双重性，该证明对两种情形均成立：X 有最小元但无最大元，以及 X 有最大元但无最小元。
• 该结果适用于所有无限链，无论其是否良序、可数或不可数，只要其为全序即可。