[论文解读] On representing and hedging claims for coherent risk measures

Saul Jacka, Seb Armstrong+1 more|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|Mar 10, 2017

Risk and Portfolio Optimization参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文在离散时间过滤条件下，建立了 $L^{∞}$ 中有限个凸锥之和的弱∗-闭包的双重表征，并引入了动态一致风险度量的 $\mathbf{V}$-m-稳定性概念。证明了 $\mathbf{V}$-m-稳定性等价于动态风险管理中的时间一致性，为多资产投资组合中的最优准备金与对冲策略提供了理论基础。

ABSTRACT

We provide a dual characterisation of the weak$^*$-closure of a finite sum of cones in $L^\infty$ adapted to a discrete time filtration $\mathcal{F}_t$: the $t^{th}$ cone in the sum contains bounded random variables that are $\mathcal{F}_t$-measurable. Hence we obtain a generalisation of Delbaen's m-stability condition for the problem of reserving in a collection of numéraires $\mathbf{V}$, called $\mathbf{V}$-m-stability, provided these cones arise from acceptance sets of a dynamic coherent measure of risk. We also prove that $\mathbf{V}$-m-stability is equivalent to time-consistency when reserving in portfolios of $\mathbf{V}$, which is of particular interest to insurers.

研究动机与目标

• 表征 $L^{∞}$ 中每个锥由 $\mathcal{F}_t$-可测有界随机变量构成的有限个锥之和的弱∗-闭包。
• 将 Delbaen 的 m-稳定性条件推广至多本位资产 $\mathbf{V}$ 的情境，引入动态一致风险度量的 $\mathbf{V}$-m-稳定性概念。
• 在动态风险度量与对冲的背景下，建立 $\mathbf{V}$-m-稳定性与时间一致性的等价关系。
• 利用对偶定理与 $L^{∞}$ 上的弱∗拓扑，为可预测表示的头寸提供对偶框架。
• 形式化在 $\mathbf{V}$ 种资产的投资组合中，通过自融资策略对头寸进行对冲的条件，确保在每个时间步均满足风险可接受性。

提出的方法

• 在 $L^{∞}$ 上使用弱∗拓扑 $\sigma(L^{∞}, L^1)$，将对偶空间识别为 $L^1$，从而通过 $\mathbb{Q}$-绝对连续概率测度的essential suprema表示一致风险度量。
• 应用 Fatou 性质，将对偶最优解限制在 $L^1$-可积密度上，确保条件风险度量可表示为 $\rho_t(X) = \operatorname*{ess\,sup}_{\mathbb{Q} \in \mathcal{Q}_t} \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X|\mathcal{F}_t]$。
• 通过 $\mathbf{V}$ 计价资产的自融资策略引入可预测表示头寸的概念，要求在每个时间 $t$ 满足 $\rho_t((Y_{t+1} - Y_t) \cdot \mathbf{V}) \leq 0$。
• 将 $\mathcal{A}_t(\mathbf{V})$ 定义为在时间 $t$ 可接受的 $\mathbf{V}$-投资组合集合，并建立 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$ 与其极锥 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$ 之间的对偶关系。
• 运用 Fenchel-Moreau 对偶定理与对偶定理，推导出等价关系 $\mathcal{B}^{**} = \overline{\oplus_{t=0}^{T-1} K_t(\mathcal{B})}^{w^*}$，将可预测性与稳定性联系起来。
• 证明 $\mathbf{V}$-m-稳定性成立当且仅当对偶锥 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$ 是可预测稳定的，利用关系 $\mathcal{M}_t(\mathcal{B}^*) = \cap_{s=t}^{T-1} \mathcal{M}_s(\mathcal{B}^*)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可通过 $\mathbf{V}$ 资产投资组合以动态、时间一致的方式可预测地表示一个头寸？
• RQ2 锥和弱∗-闭包的对偶表征如何与一致风险度量中的 m-稳定性条件相关联？
• RQ3 在动态风险管理中，$\mathbf{V}$-m-稳定性与时间一致性之间的精确关系是什么？
• RQ4 何时接受集 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$ 可通过 $\mathbf{V}$ 计价资产的自融资策略实现可预测表示？
• RQ5 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$ 与其极锥 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$ 之间的对偶性如何促成对稳定且可表示风险头寸的表征？

主要发现

• 通过对偶性与对偶定理，表征了 $L^{∞}$ 中每个锥由 $\mathcal{F}_t$-可测随机变量构成的有限个锥之和的弱∗-闭包。
• 当在 $\mathbf{V}$ 资产投资组合中进行准备金管理时，$\mathbf{V}$-m-稳定性与动态一致风险度量的时间一致性等价。
• 头寸 $X$ 可被 $\mathbf{V}$ 可预测表示当且仅当 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V}) = \overline{\oplus_{t=0}^{T-1} K_t(\mathcal{A}_0, \mathbf{V})}^{w^*}$，从而确保通过可接受交易实现动态对冲。
• 对偶锥 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$ 是可预测稳定的当且仅当 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$ 是可预测表示的，建立了可表示性与稳定性之间的对偶关系。
• 定理 2.24 的证明表明 $\mathcal{M}_t(\mathcal{B}^*) \subset K_t(\mathcal{B})^*$ 且 $\mathcal{M}_t(\mathcal{B}^*)^* \subset K_t(\mathcal{B})$，确认了可接受交易集合与对偶测度集合之间的对偶性。
• 当 $\mathcal{B}$ 是弱∗-闭的凸锥且 $\mathcal{B}^*$ 是可预测稳定时，等式 $\mathcal{B}^{**} = \overline{\oplus_{t=0}^{T-1} K_t(\mathcal{B})}^{w^*}$ 成立，为动态风险管理提供了完整的对偶框架。