[论文解读] On reversible maps and symmetric periodic points

Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文证明了在具有反射对称性的平面区域上，保持面积的可逆映射表现出丰富的对称周期行为：即使仅存在一个非对称的周期点，也会导致存在无穷多个对称周期点。论文证明了在圆环或圆盘上，此类映射要么无内部周期点，要么具有无穷多个对称周期点，并通过映射在不动点集上的像，给出了可逆映射存在对称不动点的充要条件，将Poincaré-Birkhoff定理推广至可逆系统。

ABSTRACT

In reversible dynamical systems, it is frequently of importance to understand symmetric features. The aim of this paper is to explore symmetric periodic points of reversible maps on planar domains invariant under a reflection. We extend Franks' theorem on a dichotomy of the number of periodic points of area preserving maps on the annulus to symmetric periodic points of area preserving reversible maps. Interestingly, even a non-symmetric periodic point guarantees infinitely many symmetric periodic points. We prove an analogous statement for symmetric odd-periodic points of area preserving reversible maps isotopic to the identity, which can be applied to dynamical systems with double symmetries. Our approach is simple, elementary and far from Franks' proof. We also show that a reversible map has a symmetric fixed point if and only if it is a twist map which generalizes a boundary twist condition on the closed annulus in the sense of Poincaré-Birkhoff. Applications to symmetric periodic orbits in reversible dynamical systems with two degrees of freedom are briefly discussed.

研究动机与目标

• 理解可逆动力系统中对称周期点的性质，特别是具有反射对称性的系统。
• 将Franks关于周期点的二分性结果推广至保面积可逆映射中的对称周期点。
• 建立可逆映射在同伦于恒等映射时存在对称不动点的必要且充分条件。
• 将Poincaré-Birkhoff定理的边界扭转条件推广至具有对称不动点的可逆系统。
• 将结果应用于具有两个自由度的可逆系统中的对称周期轨道以及全局横截面。

提出的方法

• 使用基本的拓扑方法，包括不动点指标和路径提升技术，避免使用Franks原始证明中的复杂工具。
• 将不动点指标应用于包围对合不动点集的闭合曲线，以检测对称不动点。
• 将映射提升至万有覆盖空间 $ S = \mathbb{R} \times [0,1] $，以分析旋转数和边界扭转条件。
• 分析对合不动点集 $ Y_i = \mathrm{Fix}\,I_\Omega $ 在映射 $ f $ 下的像，以判断对称不动点的存在性。
• 对定理1.4提供了两种不同的证明：一种基于 $ f \circ I_S $ 的不动点，另一种基于围绕 $ \mathrm{Fix}\,I_S $ 的闭合曲线上的指标计算。
• 使用对称周期点的定义：$ f^k(z) = z $ 且 $ f^\ell(z) = I_\Omega(z) $，其中 $ k, \ell \in \mathbb{N} $ 为最小正整数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在圆环或圆盘上的保面积可逆映射在何种条件下具有无穷多个对称周期点？
• RQ2 是否存在一个非对称周期点可保证可逆映射中存在无穷多个对称周期点？
• RQ3 对于同伦于恒等映射的可逆映射，在不动点集的连通分支上存在对称不动点的必要且充分条件是什么？
• RQ4 边界扭转条件如何与圆环上可逆映射中对称不动点的存在性相关联？
• RQ5 关于对称周期点的结果能否推广至具有双重对称性或两个自由度的系统？

主要发现

• 每个在圆环 $ A $ 或其内部 $ \mathring{A} $ 上的保面积可逆映射，要么无周期点，要么具有无穷多个内部对称周期点。
• 即使在这些映射中仅存在一个非对称周期点，也能保证存在无穷多个对称周期点，这一结果将Franks定理推广至对称动力系统。
• 对于同伦于恒等映射且具有奇周期点的映射，存在无穷多个内部对称奇周期点，表明对称奇周期轨道的存在性具有二分性。
• 在圆盘 $ D $ 或其内部 $ \mathring{D} $ 上的可逆映射，要么恰好有一个内部对称不动点且无其他周期点，要么具有无穷多个内部对称周期点。
• 在满足边界扭转条件的圆环 $ A $ 上的可逆映射，在 $ \mathrm{Fix}\,I_A $ 的每个连通分支上均存在对称不动点，从而推广了Poincaré-Birkhoff定理。
• 在 $ \mathrm{Fix}\,I_\Omega $ 的分支 $ Y_i $ 上存在对称不动点，当且仅当 $ f(Y_i) \cap Y_i \neq \emptyset $，从而提供了判断其存在的拓扑准则。