[论文解读] On Rigid Origami II: Quadrilateral Creased Papers

Zeyuan He, Simon D. Guest|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2018

Advanced Materials and Mechanics参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过源自 Kokotsakis 四边形的扇形角符号约束，对非通用、刚性可折叠的四边形折纸结构（对称性低于 Miura-ori）进行分类。识别出 10 种不同的刚性可折叠 3×3 网格类型，每种类型具有特定的几何与三角约束条件，从而实现对超越对称或可展形式的复杂单自由度刚性可折叠结构的解析设计。

ABSTRACT

Miura-ori is well-known for its capability of flatly folding a sheet of paper through a tessellated crease pattern made of repeating parallelograms. Many potential applications have been based on the Miura-ori and its primary variations. Here we are considering how to generalize the Miura-ori: what is the collection of rigid-foldable creased papers with a similar quadrilateral crease pattern as the Miura-ori? This paper reports some progress. We find some new variations of Miura-ori with less symmetry than the known rigid-foldable quadrilateral meshes. They are not necessarily developable or flat-foldable, and still only have single degree of freedom in their rigid folding motion. This article presents a classification of the new variations we discovered and explains the methods in detail.

研究动机与目标

• 识别并分类广义 Miura-ori 但缺乏其高对称性的刚性可折叠四边形折纸结构。
• 通过考虑一般刚性可折叠构型，克服先前研究仅限于可展或平折情况的局限性。
• 提出一种系统方法，通过拼接有效的 3×3 Kokotsakis 四边形单元，构建大型刚性可折叠网格。
• 为非通用或非对称情况提供以扇形角表示的符号化刚性可折叠条件，实现刚性可折叠性的解析描述。
• 实现可变换、分段刚性结构的新工程设计，具备受控的单自由度运动特性。

提出的方法

• 利用先前研究中对刚性可折叠 3×3 四边形网格（Kokotsakis 四边形）的分类，聚焦于扇形角的符号约束。
• 在相邻的 3×3 单元之间应用相容性条件，以确保更大网格的整体刚性可折叠性。
• 基于角度、折叠角和复参数之间的几何与三角恒等式，推导出 10 种不同的刚性可折叠 Kokotsakis 四边形类型。
• 采用复变量公式（例如椭圆函数、雅可比椭圆函数）表达类型 5.3、6.6 和 6.9 的折叠运动约束。
• 引入参数 M、p、q、μ、ν、ξ、ζ 和 t，以编码单元之间的折叠行为与几何相容性。
• 利用条件：当且仅当每个 3×3 子网格均为刚性可折叠时，整个大网格才为刚性可折叠，从而实现模块化设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些完整的类别属于广义 Miura-ori 但缺乏其高对称性的刚性可折叠四边形折纸结构？
• RQ2 3×3 Kokotsakis 四边形实现刚性可折叠需满足哪些几何与三角约束？
• RQ3 如何将有效的 3×3 刚性可折叠单元拼接成更大的刚性可折叠网格？
• RQ4 能否对非可展且非平折的刚性可折叠四边形折纸结构进行解析分类？
• RQ5 复参数与椭圆函数在描述非通用刚性可折叠单元折叠运动中起什么作用？

主要发现

• 本文识别出 10 种不同的刚性可折叠 Kokotsakis 四边形类型，包括圆锥型、椭圆型、等角型和正交对角型，每类具有独特的几何与三角约束。
• 对于类型 6.6（筝形-椭圆型），折叠运动由一个复关系控制，涉及雅可比椭圆函数，其周期格参数依赖于 p1、p2 和 k。
• 在类型 6.8 和 6.9 中，条件 t1 ± t3 ± t4 = 0 或 π（取决于 κ2 的符号）确保了三个圆锥型或椭圆型单元之间的相容性，其中 t 值由椭圆积分导出。
• 识别出平凡的刚性可折叠情况（类型 7.1–7.4），其中至少一个折叠角保持恒定，提供退化但可分析的构型。
• 该方法通过确保每个 3×3 子网格满足推导出的约束条件，实现对大型刚性可折叠网格的解析设计，从而保证整体的刚性可折叠性。
• 该分类涵盖非可展与非平折情况，扩展了以往仅关注特殊子类的研究范围。