[论文解读] On rigid syntomic cohomology with compact support

Bruno Chiarellotto, Alice Ciccioni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 2

一句话总结

本文针对混合特征 (0, p) 的完备离散赋值环上的光滑 R-概形，引入了具有紧支集的刚性同调上同调，建立了上积与 Gysin态射。此外，通过同调循环类定义了一种新的同调上同调上同态，将 Bloch 的高阶 Chow 上同调群与同调上同调联系起来。

ABSTRACT

Let R be a complete discrete valuation ring of mixed characteristic (0; p). For any smooth algebraic R-scheme X we define rigid syntomic cohomology with compact support H n; c (X; i). The definition of rigid syntomic cohomology has been given previ ously by A. Besser. We then prove the existence of a cup product and a Gysin morphism in this setting. As an application of our constructions we give a new definition of a syntomic regulator reg syn : CH i (X; 2i− n)! H n (X; i), by means of a syntomic cycle class. The groups CH i (X; 2i− n) are the Bloch higher Chow groups.

研究动机与目标

• 为混合特征 (0, p) 的完备离散赋值环上的光滑代数 R-概形定义具有紧支集的刚性同调上同调。
• 在该上同调框架中建立上积与 Gysin 态射的存在性。
• 通过同调循环类定义一种新的同调上同态。
• 将 Bloch 的高阶 Chow 上同调群 CH^i(X; 2i−n) 与同调上同调 H^n_c(X; i) 联系起来。

提出的方法

• 以 A. Besser 对刚性同调上同调的先前定义为基础。
• 通过对偶或局部化构造，将理论扩展至包含紧支集。
• 利用上同调复形的导出范畴中的 Yoneda 对偶配对构造上积。
• 通过变形到法丛与刚性上同调中的对偶性定义 Gysin 态射。
• 引入同调循环类作为关键几何对象，以定义上同态。
• 利用循环类建立上同态映射 reg_syn: CH^i(X; 2i−n) → H^n_c(X; i)。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在混合特征中将刚性同调上同调扩展至包含紧支集？
• RQ2 该上同调理论中上积与 Gysin 态射的结构性质是什么？
• RQ3 能否通过同调循环类定义一种新的上同态映射？
• RQ4 新上同态与 Bloch 的高阶 Chow 上同调群之间有何关系？
• RQ5 在此背景下，同调循环类的几何与上同调意义是什么？

主要发现

• 对于混合特征 (0, p) 的完备离散赋值环上的光滑 R-概形，具有紧支集的刚性同调上同调 H^n_c(X; i) 是良定义的。
• 该上同调理论中上积的存在性已确立，从而支持乘法结构。
• 已构造出 Gysin 态射，将理论扩展至包含闭嵌入的上推。
• 通过同调循环类定义了一种新的同调上同态 reg_syn: CH^i(X; 2i−n) → H^n_c(X; i)。
• 该上同态映射为高阶 Chow 上同调循环在同调上同调中的上同调实现提供了途径。
• 该构造为利用刚性同调方法研究代数循环的算术性质提供了新路径。