[论文解读] On rings and categories of general representations

Shahram Biglari|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文证明了在 ${\mathbbm{Q}}$-线性张量范畴 ${\mathfrak{A}}$ 中，对称群表示的格罗滕迪克环同构于系数取自 $K_0({\mathfrak{A}})$ 的对称函数环，从而推广了经典表示论。此外，本文进一步表明，该环上的亚当斯运算通过 $\overline{\chi}_{\psi_n(X)}(g) = \overline{\chi}_X(g^n)$ 计算自同态的特征系列，将 $\lambda$-环结构与表示论中的迹联系起来。

ABSTRACT

In this note we show that similar to the classical case the ring of representations of symmetric groups in a tensor derived category is certain ring of symmetric functions. We also show that in the general setting considered here, the Adams operations compute the characteristic series associated to powers of endomorphisms.

研究动机与目标

• 将对称群表示环与对称函数环之间的经典同构关系推广至任意 ${\mathbbm{Q}}$-线性张量范畴 ${\mathfrak{A}}$。
• 在阿贝尔范畴或满足特定三角条件的范畴上，建立 $K_0({\mathfrak{A}})$ 上良好的 $\lambda$-环结构。
• 证明 $G$-表示的格罗滕迪克环上的亚当斯运算可通过特征系列计算自同态幂的迹。

提出的方法

• 在 ${\mathbbm{Q}}$-线性张量范畴 ${\mathfrak{A}}$ 中定义 $G$-对象的范畴 $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{A}}(G)$，并配备 $G$-等变态射。
• 构造对称群 $\Sigma_n$ 的格罗滕迪克环 $R_{\mathfrak{A}} = \coprod_{n \geq 0} R_n({\mathfrak{A}})$，并证明其同构于 $R \otimes_{\mathbb{Z}} K_0({\mathfrak{A}})$，其中 $R$ 是对称群 ${\mathbbm{Q}}$-表示的环。
• 证明当 ${\mathfrak{A}}$ 为阿贝尔范畴或满足特定三角条件时，$K_0({\mathfrak{A}})$ 从 ${\mathfrak{A}}$ 继承 $\lambda$-环结构。
• 将特征系列 $\overline{\chi}_X(g)$ 定义为 $g^n$ 在 $X$ 上的迹的生成函数，并通过 $\overline{\chi}_{\psi_n(X)}(g) = \overline{\chi}_X(g^n)$ 将其与亚当斯运算联系起来。
• 利用投影公式 $q = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma} \chi_\pi(\sigma^{-1}) \sigma$ 在 $X^{\otimes n}$ 上计算虚拟表示 $V$ 的 $\mathrm{tr}(f; S_V(X))$，从而导出一个特征标公式。
• 利用对称函数环中的已知恒等式，如 $\sum_{k=1}^n (-1)^k p_k e_{n-k} = -n e_n$，推导出亚当斯运算的生成函数恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在张量范畴 ${\mathfrak{A}}$ 中，对称群表示环与系数取自 $K_0({\mathfrak{A}})$ 的对称函数环之间有何关系？
• RQ2 在何种条件下，${\mathbbm{Q}}$-线性张量范畴 ${\mathfrak{A}}$ 的格罗滕迪克群 $K_0({\mathfrak{A}})$ 拥有良好的 $\lambda$-环结构？
• RQ3 能否将 $G$-表示的格罗滕迪克环上的亚当斯运算解释为通过特征系列计算自同态幂的迹？
• RQ4 特征系列 $\overline{\chi}_X(g)$ 与亚当斯运算 $\psi_n$ 在表示 $X$ 上的作用之间存在何种精确关系？
• RQ5 公式 $\overline{\chi}_{\psi_n(X)}(g) = \overline{\chi}_X(g^n)$ 如何推广经典表示论中的迹恒等式？

主要发现

• 在范畴 ${\mathfrak{A}}$ 中，$\Sigma_n$-表示的格罗滕迪克环 $R_{\mathfrak{A}}$ 同构于 $R \otimes_{\mathbb{Z}} K_0({\mathfrak{A}})$，其中 $R$ 是对称群 ${\mathbbm{Q}}$-表示的环。
• $\lambda$-环结构在 $K_0({\mathfrak{A}})$ 上是良好定义的，当且仅当 ${\mathfrak{A}}$ 为阿贝尔范畴或满足适当的三角条件。
• 在 $R_{\mathfrak{A}}$ 上，亚当斯运算 $\psi_n$ 满足 $\overline{\chi}_{\psi_n(X)}(g) = \overline{\chi}_X(g^n)$，从而将 $\lambda$-环运算与自同态幂的迹联系起来。
• 对任意对象 $X$ 和分拆 $\pi$，超迹 $\mathrm{tr}(\mathrm{id}; S_\pi(X))$ 是 $\mathrm{tr}(\mathrm{id}; X)$ 的多项式，具体为 $P(\mathrm{tr}(\mathrm{id}; X)) = d_\pi(\mathrm{tr}(\mathrm{id}; X))$，其中 $d_\pi$ 是舒尔函子 $S_\pi$ 的维数。
• 特征系列 $\overline{\chi}_X(g)$ 满足生成函数恒等式 $-t \frac{d}{dt} \log \overline{\chi}_X(g) = \sum_{n \geq 1} \mathrm{tr}(g^n; X) (-t)^n$，该式等价于亚当斯运算恒等式。
• 对任意 $\Sigma_n$ 的虚拟表示 $V$，恒等式 $\mathrm{tr}(f; S_V(X)) = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in \Sigma_n} \chi_V(\sigma^{-1}) \mathrm{tr}(\sigma f^{igotimes n}; X^{\otimes n})$ 成立，从而给出一个通用的特征标公式。