[论文解读] On rotational surfaces in pseudo-Euclidean space $\mathbb{E}^4_t$ with pointwise 1-type Gauss map

Burcu Bektaş Demirci, Elif Özkara Canfes+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文研究伪欧几里得 4-空间 $\mathbb{E}^4_t$ 中具有逐点 1-型高斯映射的旋转曲面，重点分析了闵可夫斯基空间 $\mathbb{E}^4_1$ 和符号差为 (2,2) 的 $\mathbb{E}^4_2$ 中的曲面。研究证明，在 $\mathbb{E}^4_1$ 中，具有零平均曲率和第二类逐点 1-型高斯映射的非平面类时双旋转曲面仅当其母线曲线满足 $y(s) = b_0(w(s))^{\pm b}$ 时才存在；并完全刻画了在 $\mathbb{E}^4_2$ 中具有零平均曲率和第二类高斯映射的此类曲面。

ABSTRACT

In this work, we study some classes of rotational surfaces in the pseudo-Euclidean space $\mathbb{E}^4_t$ with profile curves lying in 2-dimensional planes. First, we determine all such surfaces in the Minkowski 4-space $\mathbb{E}^4_1$ with pointwise 1-type Gauss map of the first kind and second kind. Then, we obtain rotational surfaces in $\mathbb{E}^4_2$ with zero mean curvature and having pointwise 1--type Gauss map of second kind.

研究动机与目标

• 对伪欧几里得 4-空间 $\mathbb{E}^4_t$ 中具有逐点 1-型高斯映射的旋转曲面进行分类。
• 确定 $\mathbb{E}^4_1$ 中所有具有第一类和第二类逐点 1-型高斯映射的此类曲面。
• 识别 $\mathbb{E}^4_2$ 中具有零平均曲率和第二类逐点 1-型高斯映射的旋转曲面。
• 建立非平面类时或类空旋转曲面在 $\mathbb{E}^4_1$ 和 $\mathbb{E}^4_2$ 中具有逐点 1-型高斯映射的条件。

提出的方法

• 通过在二维平面中的母线曲线参数化 $\mathbb{E}^4_t$ 中的旋转曲面，定义两类曲面：$M_1(b)$ 和 $M_2(b)$。
• 利用正交标架中的诱导联络和第二基本形式计算高斯映射及其拉普拉斯算子。
• 应用逐点 1-型高斯映射的条件：$\Delta\nu = f(\nu + C)$，其中 $f$ 为光滑函数，$C$ 为常向量。
• 利用结构方程和曲率关系，推导母线曲线的微分方程。
• 通过分析拉普拉斯表达式与逐点 1-型条件的联立方程系统，对解进行分类。
• 通过法丛中分量的消失性，区分第一类（$C=0$）与第二类（$C\neq0$）高斯映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{E}^4_1$ 中，具有第一类逐点 1-型高斯映射的旋转曲面有哪些？
• RQ2 在 $\mathbb{E}^4_1$ 中，非平面类时双旋转曲面在何种条件下具有第二类逐点 1-型高斯映射？
• RQ3 在 $\mathbb{E}^4_2$ 中，哪些具有零平均曲率的旋转曲面具有第二类逐点 1-型高斯映射？
• RQ4 具有零平均曲率的旋转曲面在 $\mathbb{E}^4_2$ 中能否具有第一类逐点 1-型高斯映射？

主要发现

• 所有在 $\mathbb{E}^4_1$ 中具有第一类逐点 1-型高斯映射的非平面旋转曲面均被分类，且此类曲面仅当母线曲线满足特定微分方程时才存在。
• 在 $\mathbb{E}^4_1$ 中，不存在具有零平均曲率和第二类逐点 1-型高斯映射的非平面类时双旋转曲面，除非其母线曲线为 $y(s) = b_0(w(s))^{\pm b}$。
• 当 $b=1$ 时，若母线曲线满足 $(x(s)+z(s))^2 + \lambda_0(x(s)-z(s))^2 = \mu_0$（$\lambda_0 \neq 0$，$\mu_0$ 为常数），则 $\mathbb{E}^4_2$ 中的类时曲面 $M_1(1)$ 具有第二类逐点 1-型高斯映射。
• 当 $b \neq 1$ 时，$\mathbb{E}^4_2$ 中的类空曲面 $M_2(b)$ 具有第二类逐点 1-型高斯映射，当且仅当母线曲线为 $z(s) = \bar{b}_0(x(s))^{\pm b}$（$\bar{b}_0 \neq 0$）。
• 如推论 4.3 所示，$\mathbb{E}^4_2$ 中具有零平均曲率的旋转曲面不能具有第一类逐点 1-型高斯映射。
• $M_1(1)$ 的高斯映射满足 $\Delta\nu = f(\nu + C)$，其中 $f = -8\varepsilon\kappa^2$，$C = -\frac{1}{2}e_1\wedge e_2 - \frac{1}{2}\varepsilon\varepsilon^*e_3\wedge e_4$，从而确认了第二类条件。