[论文解读] On S-Finite Measures and Kernels

Matthijs Vákár, C.-H. Luke Ong|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2018

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文为s-有限测度和核构建了基础理论——此前虽未被充分探索但对建模一阶概率程序至关重要——确立了Radon-Nikodým定理、Lebesgue分解定理与分解定理，并将这些结果拓展至拟Borel空间，以支持高阶概率编程。核心贡献是一个组合式、以核为中心的框架，为重要性采样与拒绝采样等核心概率程序变换提供了理论依据。

ABSTRACT

In this note, we develop some of the basic theory of s-finite (measures and) kernels, a little-studied class of kernels which Staton has recently convincingly argued is precisely the semantic counterpart of (first-order) probabilistic programs. We discuss their Carathéodory extension and extend Staton's analysis of their product measures. We give various characterisations of such kernels and discuss their relationship to the more commonly studied classes of $σ$-finite, subprobability and probability kernels. We use these characterisations to establish suitable Radon-Nikodým, Lebesgue decomoposition and disintegration theorems for s-finite kernels. We discuss s-finite analogues of the classical randomisation lemma for probability kernels. Throughout, we give some examples to explain the connection with (first-order) probabilistic programming. Finally, we briefly explore how some of these results extend to quasi-Borel spaces, hence how they apply to higher-order probabilistic programming.

研究动机与目标

• 为s-有限测度与核建立严谨的测度论基础，这正是Staton（2017）所指出的一阶概率程序的语义对应物。
• 通过发展关键定理——Radon-Nikodým定理、Lebesgue分解定理、分解定理——填补文献空白，专门针对s-有限核。
• 将这些结果拓展至拟Borel空间，使其适用于高阶概率编程。
• 通过精确的数学条件阐明常见概率编程技术（如重要性采样、拒绝采样与符号化分解）的语义有效性。

提出的方法

• 通过有限核的可数和来刻画s-有限核，建立其与在复合运算下封闭的未归一化测度之间的等价性。
• 使用Carathéodory扩张定理，将s-有限预测度扩展为标准Borel空间上的完整测度。
• 利用取值于[0,∞]的可测函数与可测划分，证明拟Borel空间上s-有限测度的Radon-Nikodým定理与Lebesgue分解定理。
• 通过可测选择与拟Borel空间的函子结构下的测度拉回，构造分解。
• 将s-有限核的随机化定义为单一均匀随机生成器与确定性重加权函数的复合。
• 利用遗忘函子Σ与单子T之间的伴随关系，将可测空间上的结果提升至拟Borel空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种充要条件下，一个s-有限核相对于另一个s-有限核是绝对连续的？这能否通过密度函数表达？
• RQ2 Lebesgue分解定理能否推广至s-有限测度？若能，其相互奇异的分量如何表征？
• RQ3 在何种条件下，s-有限核在拟Borel空间之间存在分解定理？
• RQ4 如何将s-有限核分解为单一均匀核的随机化，再经由确定性变换？
• RQ5 经典概率程序变换（如重要性采样与拒绝采样）在多大程度上对应于s-有限测度理论中的已知定理？

主要发现

• 在拟Borel空间上，s-有限测度的Radon-Nikodým定理成立当且仅当测度在广义意义下绝对连续（μ ≪∞ ν），其密度由取值于[0,∞]的拟Borel态射给出。
• 在拟Borel空间上，s-有限测度的Lebesgue分解定理给出唯一分解为绝对连续、无限与奇异分量，且每一部分本身均为s-有限。
• Lebesgue分解中的每一部分均可表示为Lebesgue测度在拟Borel态射下的推出，从而保证其s-有限性与可测性。
• s-有限核的分解定理在标准Borel空间上成立，其分量支持于由核结构诱导的可测划分上。
• 随机化引理表明，任意s-有限核均可实现为单一均匀随机生成器与确定性重加权函数的复合，从而为概率程序通过单一随机源实现提供了理论依据。
• 通过可测空间与拟Borel空间之间的伴随关系，结果可推广至拟Borel空间，且s-有限测度与核的结构在函子Σ下得以保持。