[论文解读] On Sampling without replacement and OK-Corral urn models

Markus Kuba|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2010

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文引入了使用任意正权重序列的广义无放回抽样和OK-Corral瓮模型，推导出当所有黑球被耗尽时剩余白球数的显式闭式表达式。建立了两种模型之间的对偶关系，并针对特定权重选择，识别出涉及雅可比θ函数和zeta相关分布的极限分布，扩展了经典的Pólya-Eggenberger瓮模型结果。

ABSTRACT

In this work we discuss two urn models with general weight sequences $(A,B)$ associated to them, $A=(α_n)_{n\in\N}$ and $B=(β_m)_{m\in\N}$, generalizing two well known Pólya-Eggenberger urn models, namely the so-called sampling without replacement urn model and the OK Corral urn model. We derive simple explicit expressions for the distribution of the number of white balls, when all black have been drawn, and obtain as a byproduct the corresponding results for the Pólya-Eggenberger urn models. Moreover, we show that the sampling without replacement urn models and the OK Corral urn models with general weights are dual to each other in a certain sense. We discuss extensions to higher dimensional sampling without replacement and OK Corral urn models, respectively, where we also obtain explicit results for the probability mass functions, and also an analog of the dualitiy relation. Finally, we derive limit laws for a special choice of the weight sequences.

研究动机与目标

• 使用任意正权重序列对白球和黑球的选择概率进行广义化，以推广经典的无放回抽样和OK-Corral瓮模型。
• 推导当所有黑球被抽完时剩余白球数量的概率质量函数的显式闭式表达式。
• 在适当的权重变换下，建立无放回抽样与OK-Corral瓮模型之间的对偶关系。
• 将框架扩展至高维瓮模型，并推导相应的显式结果。
• 研究特定权重序列下的极限分布，特别是涉及雅可比θ函数以及与布朗桥运动相关的分布。

提出的方法

• 将瓮过程建模为带权重的格路，其中转移概率依赖于当前白球和黑球的数量及其对应的权重序列A和B。
• 通过递归路径计数和乘积权重求和，计算在所有黑球被移除的状态下的吸收概率。
• 通过利用组合结构和生成函数，推导出概率质量函数P(X_{n,m} = k)的显式公式。
• 通过将权重序列进行变换，使转移概率中α_n与β_m的角色互换，建立两种瓮模型之间的对偶关系。
• 应用矩生成函数和无穷乘积恒等式分析极限分布，特别关注与雅可比θ函数和zeta函数的关联。
• 利用指数随机变量的分解表征极限分布，与Biane、Pitman和Yor的结果建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有任意权重序列的广义无放回抽样瓮模型中，当所有黑球被抽完时，剩余白球数的精确分布是什么？
• RQ2 在概率对偶的意义下，具有广义权重的OK-Corral瓮模型与无放回抽样模型之间有何关系？
• RQ3 当黑球和白球数量均趋于无穷大时，对于特定权重序列（如α_n = n，β_m = m² 或 β_m = (m−½)²），归一化后剩余白球数的极限分布是什么？
• RQ4 能否将二维模型中推导出的显式概率质量函数推广至具有多种类型球的高维瓮模型？
• RQ5 特殊函数如雅可比θ函数和黎曼zeta函数在刻画这些广义瓮过程的极限分布中起什么作用？

主要发现

• 对于权重序列α_n = n，β_m = m²的广义无放回抽样模型，当min{n,m} → ∞时，X_{n,m}/n的极限分布的累积分布函数为P(W ≤ q) = 1 − φ³(q)，其中φ(q)为欧拉函数，且矩为E(W^s) = 2πs / cosh(π√(8s−1)/2)。
• 对于α_n = n，β_m = (m−½)²的情况，极限分布满足P(W ≤ q) = (4/π)∑_{ℓ≥1} (−1)^ℓ q^{(ℓ−½)²}/(2ℓ−1)，且矩为E(W^s) = 1 / cosh(π√s)。
• 无放回抽样瓮模型与OK-Corral瓮模型之间存在对偶性：在权重序列α_n与β_m角色互换的变换下，两者的概率结构等价。
• 对于权重序列α_n = n，β_m = m^r（r > 1）的极限分布，预期将收敛至与黎曼zeta函数和布朗桥运动规律相关的分布。
• 在广义无放回抽样模型中，剩余白球数Y_m可分解为Y_m = exp(−∑_{ℓ=1}^m ε_ℓ / ℓ²)，其中ε_ℓ为独立同分布的指数随机变量，该分解将模型与指数泛函构造联系起来。
• 在无限版本的模型中，有W = exp(−∑_{ℓ=1}^∞ ε_ℓ / ℓ²)，且E(W^s) = π√s / sinh(π√s)，该结果与Biane、Pitman和Yor关于布朗桥局部时间的已知结果一致。