[论文解读] On scaling limits of multitype Galton-Watson trees with possibly infinite variance

Gabriel Berzunza|arXiv (Cornell University)|May 16, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 6

一句话总结

该论文建立了具有无限方差的临界、不可约多类型Galton-Watson树的高度过程的极限，证明其在适当缩放下收敛于严格稳定、非负跳过程的连续时间高度过程。该结果将Miermont在有限方差情况下的结果推广至可能具有不同稳定性指数的稳定分布的无限方差吸引域。

ABSTRACT

In this work, we study asymptotics of multitype Galton-Watson trees with finitely many types. We consider critical and irreducible offspring distributions such that they belong to the domain of attraction of a stable law, where the stability indices may differ. We show that after a proper rescaling, their corresponding height process converges to the continuous-time height process associated with a strictly stable spectrally positive Lévy process. This gives an analogue of a result obtained by Miermont in the case of multitype Galton-Watson trees with finite covariance matrices of the offspring distribution. Our approach relies on a remarkable decomposition for multitype trees into monotype trees introduced by Miermont.

研究动机与目标

• 将多类型Galton-Watson树的缩放极限结果从有限方差情形推广至具有无限方差的情形。
• 在每种类型可能具有不同稳定性指数的稳定分布吸引域下，建立高度过程的收敛性。
• 将Miermont在有限方差情形下对无条件收敛于反射Bm的结论推广至无限方差情形。
• 为处理重尾后代分布下的多类型结构，提出一种将多类型树分解为单类型树的方法。
• 证明经缩放的高度过程依分布收敛于与严格稳定、非负跳Lévy过程相关的连续时间高度过程的归一化桥接过程。

提出的方法

• 利用多类型Galton-Watson树向单类型树的分解方法，扩展了Miermont（2007）提出的技术。
• 对每种类型应用稳定分布吸引域条件，其中稳定性指数α ∈ (1,2]，允许不同类型间指数不同。
• 采用缩放方案，使用归一化常数B_n / n，其中B_n的选择与稳定极限下高度过程的缩放行为相匹配。
• 对后代分布施加条件：临界、不可约，并处于稳定性指数α ∈ (1,2]的稳定分布吸引域中，且不同类型可具有不同的指数。
• 使用条件收敛论证，通过条件化于某类个体数量，以在极限中分离出主导成分。
• 依赖于Skorokhod空间D([0,1], ℝ)中的函数收敛性，证明经缩放的高度过程收敛于连续时间高度过程的归一化桥接过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当缩放下，具有无限方差的临界、不可约多类型Galton-Watson树的高度过程是否收敛于连续极限？
• RQ2 是否可将具有无限方差的单类型树的收敛结果推广至不同类型具有不同稳定性指数的多类型情形？
• RQ3 当后代分布处于具有不同类型间不同指数的稳定分布吸引域时，高度函数的极限过程是什么？
• RQ4 将多类型树分解为单类型树的方法如何促进对具有重尾后代分布的多类型树的分析？
• RQ5 当协方差矩阵为无限时，经缩放的高度过程对稳定高度过程的收敛性是否仍然成立？

主要发现

• 在后代分布处于稳定分布吸引域中的临界、不可约多类型Galton-Watson树中，其经缩放的高度过程依分布收敛于与严格稳定、非负跳Lévy过程相关的连续时间高度过程的归一化桥接过程。
• 即使不同类型间稳定性指数不同，该收敛性依然成立，从而将Miermont的有限方差结果推广至无限方差情形。
• 极限过程由稳定性指数α ∈ (1,2]的严格稳定、非负跳Lévy过程刻画，其中α可依类型而异。
• 在给定某类个体数量的条件测度下建立收敛性，确保极限非退化。
• 证明依赖于表明次主导树分量的贡献在极限中可忽略不计，其大小以高概率为o(n)。
• 高度过程近似中的误差项在[0,1]上以概率一致地为o(n/B_n)，从而确保经缩放过程的收敛性。