[论文解读] On scattering for the defocusing quintic nonlinear Schrödinger equation on the two-dimensional cylinder

Xing Cheng, Zihua Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 27被引用 3

一句话总结

该论文在 $ H^1 $ 空间中建立了二维柱面 $ \mathbb{R}\times\mathbb{T} $ 上非聚焦五次非线性薛定谔方程的全局散射。通过在 $ L^2_x h^\alpha $ 空间中引入一种新型线性渐近分解，并利用 Dodson 的一维质量临界方法所建立的一分量五次共振系统的散射理论，作者通过双线性virial恒等式排除了几乎周期解，从而证明了所有 $ H^1 $ 初始数据的散射性。

ABSTRACT

In this article, we prove the scattering for the quintic defocusing nonlinear Schrödinger equation on cylinder $\mathbb{R} imes \mathbb{T}$ in $H^1$. We establish an abstract linear profile decomposition in $L^2_x h^α$, $0 < α\le 1$, motivated by the linear profile decomposition of the mass-critical Schrödinger equation in $L^2(\mathbb{R}^d )$, $d\ge 1$. Then by using the solution of the one-discrete-component quintic resonant nonlinear Schrödinger system, whose scattering can be proved by using the techniques in $1d$ mass critical NLS problem by B. Dodson, to approximate the nonlinear profile, we can prove scattering in $H^1$ by using the concentration-compactness/rigidity method. As a byproduct of our proof of the scattering of the one-discrete-component quintic resonant nonlinear Schrödinger system, we also prove the conjecture of the global well-posedness and scattering of the two-discrete-component quintic resonant nonlinear Schrödinger system made by Z. Hani and B. Pausader [Comm. Pure Appl. Math. 67 (2014)].

研究动机与目标

• 在 $ H^1 $ 正则性类中，建立非聚焦五次非线性薛定谔方程在波导 $ \mathbb{R}\times\mathbb{T} $ 上的全局适定性与散射性。
• 在加权 $ L^2_x h^\alpha $ 空间中发展一种新的线性渐近分解，其动机来自 $ \mathbb{R}^d $ 中的质量临界NLS，以处理柱面的非椭圆几何结构。
• 通过集中紧致性与刚性方法，将一维离散分量五次共振系统的散射结果推广至 $ \mathbb{R}\times\mathbb{T} $ 上的完整五次NLS。
• 解决Hani与Pausader关于两维离散分量五次共振NLS系统全局适定性与散射性的猜想。
• 通过双线性virial作用量方法，排除可能阻碍散射的几乎周期解的存在性。

提出的方法

• 在 $ L^2_x h^\alpha $ 空间中引入一种新的线性渐近分解，其中 $ 0 < \alpha \leq 1 $，将质量临界渐近分解推广至波导设置。
• 将通过 Dodson 的一维质量临界技术所证明的一维离散分量五次共振NLS系统的散射结果，作为非线性渐近分解的模型。
• 应用集中紧致性/刚性方法，通过假设存在一个具有无限 $ L^6_t L^6_x H^1_y $ 范数与几乎周期行为的临界解，来排除最小爆破解。
• 定义一个双线性virial泛函 $ I(t) $，通过分离解的两个副本在空间上的位置，以控制临界解的空间集中性。
• 利用五次非线性项与解的 $ L^2_y $-范数，推导出 $ I''(t) $ 的精确下界，将其与 $ H^1_x $-正则性及质量集中性联系起来。
• 通过结合双线性virial估计与几乎周期性及质量守恒，导出矛盾，证明临界解不可能存在，除非其质量为零，而这是不可能的，从而排除了临界元素的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 非聚焦五次非线性薛定谔方程在 $ \mathbb{R}\times\mathbb{T} $ 上是否对所有 $ H^1 $ 初始数据都具有全局散射性？
• RQ2 能否在 $ L^2_x h^\alpha $ 空间中构造出一种线性渐近分解，以处理波导的色散结构？
• RQ3 能否利用一维分量五次共振系统的散射理论来近似非线性渐近分解，并将其推广至完整的五次NLS？
• RQ4 在集中紧致性框架下，是否存在具有无限 $ L^6_t L^6_x H^1_y $ 范数与 $ H^1 $-正则性的临界几乎周期解？
• RQ5 Hani与Pausader所猜想的两维离散分量五次共振NLS系统是否具有全局适定性与散射性？

主要发现

• 非聚焦五次非线性薛定谔方程在 $ \mathbb{R}\times\mathbb{T} $ 上对所有初始数据 $ u_0 \in H^1(\mathbb{R}\times\mathbb{T}) $ 均具有全局适定性，并在 $ H^1 $ 中实现散射。
• 在 $ L^2_x h^\alpha $ 空间中构造出一种新的线性渐近分解，其中 $ 0 < \alpha \leq 1 $，将质量临界渐近分解推广至波导几何结构。
• 具有 $ \|u_c\|_{L^6_t L^6_x H^{1-\epsilon_0}_y} = \infty $ 与 $ S(u_c) = L_{\max} $ 的几乎周期解 $ u_c $ 不可能存在，这通过双线性virial估计中的矛盾得以证明。
• 双线性virial论证导致矛盾，除非质量为零，而这是不可能的（因假设了无限范数），因此排除了临界元素的存在。
• 作为副产品，Hani与Pausader关于两维离散分量五次共振NLS系统全局适定性与散射性的猜想得到证实。
• 该证明依赖于长时间Strichartz估计与相互作用Morawetz估计，关键步骤是通过双线性virial恒等式控制空间集中性。