[论文解读] On Schrödinger's equation, 3-dimensional Bessel bridges, and passage time problems

Gerardo Hernández‐del‐Valle|arXiv (Cornell University)|May 21, 2010

advanced mathematical theories参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文建立了布朗运动首达时到达移动边界与3维Bessel桥过程之间的联系，通过带时变漂移的热方程柯西问题的解，推导出首达时密度的随机表示。关键贡献是通过3维Bessel桥上的期望，给出了首达时密度的公式，从而借助费曼-卡茨型表示实现边界的估计与解析可处理性。

ABSTRACT

In this work we relate the density of the first-passage time of a Wiener process to a moving boundary with the three dimensional Bessel bridge process and a solution of the heat equation with a moving boundary. We provide bounds.

研究动机与目标

• 推导一维布朗运动 $B_t$ 到二阶连续可微移动边界 $f(t)$ 且满足 $f''(t) > 0$ 的首达时 $T$ 的密度。
• 通过Girsanov定理与测度变换技术，将首达时分布与3维Bessel桥过程 $\tilde{X}_t$ 关联起来。
• 利用Bessel桥的指数泛函期望，建立首达时密度的随机表示。
• 通过Jensen不等式与Bessel桥的矩估计，为首达时密度提供边界。
• 求解具有时变系数的PDE柯西问题，通过傅里叶变换将其与热方程联系起来。

提出的方法

• 使用Girsanov定理，将原始Wiener测度变换为使得Bessel桥 $\tilde{X}_t$ 成为具有漂移 $\left(\frac{1}{\tilde{X}_t} - \frac{\tilde{X}_t}{s-t}\right)$ 的扩散过程的测度。
• 应用Feynman-Kac公式，将柯西问题 (7) 的解表示为涉及指数泛函 $\exp\left\{-\int_0^s f''(u)\tilde{X}_u du\right\}$ 的期望。
• 通过设 $y = \lambda + i f'(t)$ 对PDE (8) 中的 $w(t,a)$ 进行傅里叶分析，将其转化为复平面上可解的常微分方程。
• 利用逆傅里叶变换，推导出 $w(t,a)$ 的显式解，表示为包含函数 $\Pi(y)$ 与高斯加权指数的积分。
• 将解 $v(t,a)$ 构造为 $v(t,a) = w(t,a)/h(s-t,a)$，其中 $h(s,a)$ 为到达固定水平的首达密度。
• 通过Bessel桥最大值的控制收敛定理与矩界，证明随机表示的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用3维Bessel桥表示布朗运动到达移动边界的首达时密度？
• RQ2 在Girsanov定理诱导的测度变换下，首达时密度的随机表示是什么？
• RQ3 柯西问题 (7) 的解如何与热方程及Bessel桥过程相关联？
• RQ4 能否通过Jensen不等式与Bessel桥上的期望，为首达时密度推导出边界？
• RQ5 在变换测度下，控制Bessel桥转移密度的PDE (8) 的显式解是什么？

主要发现

• 首达时密度 $\omega(s, a + \int_0^s f'(u)du)$ 的下界为 $h(s,a) \exp\left\{-af'(0) - \frac{1}{2}\int_0^s (f'(u))^2 du - \int_0^s f''(u)\mathbb{E}^a[\tilde{X}_u] du\right\}$。
• 上界为 $h(s,a) \exp\left\{-af'(0) - \frac{1}{2}\int_0^s (f'(u))^2 du\right\}$，通过在指数泛函上应用Jensen不等式得出。
• 柯西问题 (7) 的解 $v(t,a)$ 表示为 $\mathbb{E}^{t,a}\left[\exp\left\{-\int_t^s f''(u)\tilde{X}_u du\right\}\right]$，从而与Bessel桥期望建立联系。
• 显式解为 $w(t,a) = \exp\left\{\frac{1}{2}\int_t^s (f'(u))^2 du + a f'(t)\right\} \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \Pi(y) e^{-\frac{1}{2}y^2(s-t) + i y (a + \int_t^s f'(u) du)} dy$。
• 解 $v(t,a)$ 通过 $v(t,a) = w(t,a)/h(s-t,a)$ 构造，其中 $h(s,a)$ 为到达固定水平的逆高斯密度。
• 通过Bessel桥最大值的矩界，证明了随机表示的收敛性，确保截断论证中 $n \to \infty$ 时极限的有效性。