[论文解读] On Schur multiple zeta functions: A combinatoric generalization of multiple zeta functions

Maki Nakasuji, Ouamporn Phuksuwan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

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一句话总结

本文引入了舒尔多重ζ函数（SMZFs）作为多重ζ函数的组合拓展，借助歪杨表和拟对称函数进行构造。在关键的解析假设下，建立了雅可比-特鲁迪、吉安贝利及对偶柯西公式，并提供了里本霍斯特型的迭代积分表示，从而实现了SMZFs的对偶性原理。

ABSTRACT

We introduce Schur multiple zeta functions which interpolate both the multiple zeta and multiple zeta-star functions of the Euler-Zagier type combinatorially. We first study their basic properties including a region of absolute convergence and the case where all variables are the same. Then, under an assumption on variables, some determinant formulas coming from theory of Schur functions such as the Jacobi-Trudi, Giambelli and dual Cauchy formula are established with the help of Macdonald's ninth variation of Schur functions. Moreover, we investigate the quasi-symmetric functions corresponding to the Schur multiple zeta functions. We obtain the similar results as above for them and, furthermore, describe the images of them by the antipode of the Hopf algebra of quasi-symmetric functions explicitly. Finally, we establish iterated integral representations of the Schur multiple zeta values of ribbon type, which yield a duality for them in some cases.

研究动机与目标

• 通过组合结构（如歪杨表和舒尔型拟对称函数）推广多重ζ函数。
• 在对角变量收敛性条件下，建立SMZFs的代数与解析公式（如雅可比-特鲁迪与吉安贝利公式）。
• 将多重ζ函数理论扩展至拟对称函数的霍普夫代数（QSym）框架。
• 为舒尔多重ζ值构造里本霍斯特型的迭代积分表示，从而实现对偶性原理。
• 阐明对角假设在避免结构公式中出现额外误差项中的作用。

提出的方法

• 在霍普夫代数QSym中，为歪杨表ν定义与之关联的舒尔型拟对称函数Sν(α)。
• 利用QSym的对合S，将Sν(α)与其在反对角转置ν#下的对偶联系起来，从而建立对偶性。
• 在SMZFs的背景下应用雅可比-特鲁迪与吉安贝利公式，其中H型与E型公式分别对应于基本与单项拟对称函数。
• 通过已知的MZF与MZSF的解析延拓性质，将SMZFs解析延拓至C^{s+r-1}。
• 通过改编[Kaneko-Yamamoto, Yamamoto]的方法，构造里本霍斯特型的迭代积分表示，从而实现对偶性所需的变量替换。
• 利用中川等人关于麦克唐纳n阶变体舒尔函数的特殊化方法，在对角假设下实现SMZFs。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用组合结构（如歪杨表）推广多重ζ函数？
• RQ2 在解析约束下，舒尔多重ζ函数是否成立雅可比-特鲁迪或吉安贝利等代数公式？
• RQ3 能否为舒尔多重ζ值构造里本霍斯特型的迭代积分表示？
• RQ4 对角变量假设在确保结构公式中无额外误差项方面起到何种作用？
• RQ5 霍普夫代数QSym中的对合如何将舒尔型拟对称函数与其在反对角转置下的对偶联系起来？

主要发现

• 在满足ℜ(a), ℜ(b), ℜ(d) > 1且ℜ(c) ≥ 1的对角线变量假设下，本文建立了SMZFs的H型与E型雅可比-特鲁迪公式。
• 在相同收敛条件下，SMZFs的吉安贝利公式与对偶柯西公式得以证明，将经典恒等式推广至舒尔型设定。
• 由于已知的多重ζ函数及其星号变体的解析延拓性质，SMZFs可延拓至C^{s+r-1}，且为亚纯函数。
• 在对角假设下，舒尔型拟对称函数Sν(α)可实现为麦克唐纳n阶变体舒尔函数的特殊化。
• 构造了里本霍斯特型的迭代积分表示，通过变量替换实现对偶性原理，前提是其对偶值仍为里本霍斯特型。
• 若无对角假设，则结构公式中会出现额外的误差项，该问题将在未来工作中进一步澄清。