[论文解读] On SDEs driven by fractional Brownian motions with irregular drifts

Xiliang Fan, Shao‐Qin Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

本文为由分数布朗运动驱动、漂移项可测且满足线性增长条件的随机微分方程（SDEs）的解，建立了高阶矩与指数矩估计。通过结合Girsanov变换、Clark-Ocone协方差表示及傅里叶分析，证明了解的弱唯一性，并建立了在一维情形下泛函的密度存在性与高斯尾部估计。

ABSTRACT

In this paper, high-order moments, even exponential moments, estimates are established for solutions to stochastic differential equations (SDEs) driven by fractional Brownian motions whose drift is measurable and has linear growth. As applications, we study the weak uniqueness of solutions to fractional SDEs. Moreover, in dimension one, combining our estimates and the Fourier transform, we establish the existence of density of solutions to equations with irregular drifts. We further obtain Gaussian estimates for the tails of additive functional of such equation with bounded and measurable drift. It is relied on a mix of the Girsanov transform and the Clark-Ocone type covariance representation.

研究动机与目标

• 为具有不规则漂移项的分数布朗运动驱动的SDE解，推导高阶矩与指数矩估计。
• 在漂移项可测且满足线性增长条件时，建立此类SDE解的弱唯一性。
• 利用傅里叶变换技术，证明一维SDE解的概率密度存在性。
• 为具有有界、可测漂移项的此类SDE的加法泛函，获得高斯型尾部估计。
• 构建一个结合Girsanov变换与Clark-Ocone表示的框架，以分析解的路径性质。

提出的方法

• 通过针对Hurst参数H ∈ (1/2, 1)的分数布朗运动的路径分析与随机微积分，推导矩估计。
• 应用Girsanov变换改变测度，分析在不同概率测度下解的分布。
• 采用Clark-Ocone公式表示泛函的协方差，从而实现方差与尾部估计。
• 利用傅里叶变换方法，证明一维情形下解的密度存在性。
• 将矩估计与协方差表示相结合，为加法泛函推导出精确的尾部界。
• 依赖于漂移项的线性增长与可测性，以确保分析中的可积性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有可测漂移项的分数布朗运动驱动的SDE，是否可估计其高阶与指数矩？
• RQ2 在何种条件下，此类具有不规则漂移项的SDE满足弱唯一性？
• RQ3 具有可测漂移项的一维SDE解是否具有概率密度？
• RQ4 这些SDE的加法泛函具有怎样的尾部行为特性？
• RQ5 如何结合Girsanov变换与Clark-Ocone表示以分析路径正则性与矩结构？

主要发现

• 在漂移项满足线性增长与可测性条件下，对解的高阶与指数矩进行了估计。
• 对于具有可测漂移项且满足线性增长条件的分数布朗运动驱动SDE，证明了解的弱唯一性。
• 在一维情形下，解具有概率密度，该结论通过傅里叶变换与矩估计得以证明。
• 为具有有界且可测漂移项的此类SDE的加法泛函，获得了高斯型上界。
• Girsanov变换与Clark-Ocone表示的结合，实现了对协方差结构与尾部行为的精确控制。
• 上述结果适用于Hurst参数H ∈ (1/2, 1)的分数布朗运动，其具有长程相关性与自相似性。