[论文解读] On Self-Dual Quantum Codes, Graphs, and Boolean Functions

Lars Eirik Danielsen|ArXiv.org|Mar 31, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 45被引用 31

一句话总结

本文通過證明零維量子碼對應於GF(4)上的自偶加法碼，從而建立自偶量子碼、圖形與邏輯函數之間的新型聯繫，這些碼可表示為圖形。本文引入非週期傳播準則（APC），並證明此類碼的最小距離等於其對應邏輯函數的APC距離，進而透過局部補全下的圖形軌道，實現長度至12的非等價碼的分類。

ABSTRACT

A short introduction to quantum error correction is given, and it is shown that zero-dimensional quantum codes can be represented as self-dual additive codes over GF(4) and also as graphs. We show that graphs representing several such codes with high minimum distance can be described as nested regular graphs having minimum regular vertex degree and containing long cycles. Two graphs correspond to equivalent quantum codes if they are related by a sequence of local complementations. We use this operation to generate orbits of graphs, and thus classify all inequivalent self-dual additive codes over GF(4) of length up to 12, where previously only all codes of length up to 9 were known. We show that these codes can be interpreted as quadratic Boolean functions, and we define non-quadratic quantum codes, corresponding to Boolean functions of higher degree. We look at various cryptographic properties of Boolean functions, in particular the propagation criteria. The new aperiodic propagation criterion (APC) and the APC distance are then defined. We show that the distance of a zero-dimensional quantum code is equal to the APC distance of the corresponding Boolean function. Orbits of Boolean functions with respect to the {I,H,N}^n transform set are generated. We also study the peak-to-average power ratio with respect to the {I,H,N}^n transform set (PAR_IHN), and prove that PAR_IHN of a quadratic Boolean function is related to the size of the maximum independent set over the corresponding orbit of graphs. A construction technique for non-quadratic Boolean functions with low PAR_IHN is proposed. It is finally shown that both PAR_IHN and APC distance can be interpreted as partial entanglement measures.

研究动机与目标

• 建立自偶量子碼與邏輯函數（特別是二次邏輯函數）之間的對應關係。
• 定義並分析非週期傳播準則（APC）及其與量子碼距離的關係。
• 利用圖論方法，對長度至12的GF(4)上非等價自偶加法碼進行分類。
• 研究邏輯函數的密碼學性質，特別是與峰均功率比（PAR IHN）的關係。
• 將APC距離與PAR IHN解釋為量子資訊中部分 entanglement 的度量。

提出的方法

• 透過其GF(4)-加法碼結構，將自偶量子碼表示為圖形。
• 使用局部補全運算生成圖形軌道，識別等價的量子碼。
• 定義邏輯函數的非週期傳播準則（APC），並與碼距離關聯。
• 基於{I, H, N}^n變換集合引入PAR IHN度量，並與圖形軌道中的最大獨立集大小連結。
• 利用譜性質構造非二次邏輯函數，使其PAR IHN值較低。
• 建立APC距離與PAR IHN均可解釋為量子系統中部分 entanglement 度量的事實。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何透過圖形與邏輯函數等價表示自偶量子碼？
• RQ2 零維量子碼的最小距離與其對應邏輯函數的非週期傳播準則（APC）之間的關係為何？
• RQ3 如何利用局部補全下的圖形軌道對長度至12的非等價自偶加法碼在GF(4)上進行分類？
• RQ4 邏輯函數的PAR IHN與其對應圖形軌道中最大獨立集之間的關係為何？
• RQ5 APC距離與PAR IHN在何種方式下可被解釋為量子態中部分 entanglement 的度量？

主要发现

• 零維量子碼的最小距離等於其對應邏輯函數的APC距離。
• 所有長度至12的非等價自偶加法碼在GF(4)上均已透過局部補全下的圖形軌道完成分類，此結果擴展了以往僅限於長度9的研究。
• 二次邏輯函數的PAR IHN直接與其對應圖形軌道中最大獨立集的大小相關。
• 基於譜性質，提出一種構造非二次邏輯函數且PAR IHN值較低的技術。
• APC距離與PAR IHN均可解釋為量子資訊理論中部分 entanglement 的度量。
• 研究發現，具有高最小頂點度與長週環的嵌套正則圖形對應於最小距離較高的自偶碼。