[论文解读] On self-intersection local times for generalized Brownian bridges and the distance between step functions

A. A. Dorogovtsev, Olga Izyumtseva|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

本论文研究由具有非平凡核的线性算子生成的平面高斯积分器的k重自交局部时（SILT），将正则化技术从维纳过程扩展至更一般情形。当k=2时，尽管核的存在引入了新的奇异性，仍证明了傅里叶–维纳变换与L²正则化的收敛性，并通过格拉姆行列式的几何分析及基于投影的正则化方法建立了可积性；对于k>2，由于奇异性结构复杂（包括区间与超平面），现有方法失效，需采用替代方法。

ABSTRACT

In the paper $k$-multiple self-intersection local time for planar Gaussian integrators generated by linear operator with nontrivial kernel is studied. In this case additional singularities arise in its formal Fourier--Wiener transform. In case $k=2$ the set of singularities is the finite number of points. In case $k>2$ it contains intervals and hyperplanes. In the first and the second cases using two different approaches related on structure of set of singularities we show that "new" singularities do not imply on the convergence of integral corresponding to the formal Fourier--Wiener transform and regularization consist of compensation of impact of diagonals as for the Wiener process.

研究动机与目标

• 分析由具有非平凡核的线性算子生成的平面高斯积分器的k重自交局部时（SILT），该核在形式傅里叶–维纳变换中引入新的奇异性。
• 将先前仅适用于维纳过程及核为平凡的算子的正则化技术，推广至算子A具有有限维核的情形，此时奇异性不仅限于对角线。
• 通过分析奇异性结构并证明相应发散积分的可积性，建立k=2时SILT的傅里叶–维纳变换与L²正则化的存在性。
• 识别现有正则化方法在k>2时的局限性，此时奇异性包含区间与超平面，需采用超越当前框架的新方法。

提出的方法

• 利用傅里叶–维纳变换表示高斯白噪声的平方可积泛函，从而通过特征泛函分析SILT。
• 分析SILT的形式傅里叶–维纳变换，其表达为包含A1_I_[0;t]增量所构成的格拉姆行列式逆的发散积分，奇异性源于算子A的核。
• 采用基于投影的正则化方法：当k=2时，通过增量的正交化及在子空间上包含带符号投影项，实现发散项的抵消。
• 对格拉姆行列式在奇点附近的性质进行几何估计，并利用热核型积分的界（如∫ p_r(u) dr ≤ c ln δ）证明可积性。
• 对于k>2，通过基于时间排序的Δ_k^δ区域划分，并对转移密度乘积施加估计以控制发散。
• 利用控制收敛定理证明逼近序列T_ε,k,δ在ε→0时的L²极限存在，其依据为来自格拉姆行列式界所得的统一可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 生成算子A的非平凡核如何影响k重SILT形式傅里叶–维纳变换的奇异性结构？
• RQ2 罗森型正则化方法能否推广至具有非平凡核的高斯积分器，特别是k=2的情形？
• RQ3 当ker A为有限维时，k>2情形下形式傅里叶–维纳变换的奇点集合具有何种性质？
• RQ4 为何基于投影的正则化方法在k>2时失效，需采用何种替代方法？
• RQ5 在何种条件下，k≥2时逼近序列T_ε,k,δ的L²极限存在？

主要发现

• 当k=2时，SILT形式傅里叶–维纳变换的奇点集为有限个孤立点，通过带符号投影和的正则化方法可确保积分收敛。
• 基于增量正交化及在子集M⊂{1,…,k−1}上包含投影项的正则化方法，成功抵消发散并为k=2情形得到收敛积分。
• 当k>2时，奇点集包含区间与超平面，导致相同正则化方法不再适用，因其奇点集过于复杂。
• 通过估计热核型积分并利用f_0(‖u−v‖)的界（对所有p>0均为L^p可积），证明了k=2时傅里叶–维纳变换中积分在Δ_k^δ上的可积性。
• 通过控制收敛定理及分母中格拉姆行列式的统一有界性，证明了逼近序列T_ε,k,δ在ε→0时的L²极限存在。
• 在ker A为有限维且A在L2([0,1])上连续的条件下，k重SILT的傅里叶–维纳变换在对角线外区域存在。