[论文解读] On (self-) reciprocal Appell polynomials: Symmetry and Faulhaber-type polynomials

Bernd C. Kellner|arXiv (Cornell University)|May 31, 2021

Advanced Mathematical Identities被引用 1

一句话总结

本文通过二次代换 u = x(x−1)，建立了满足反射对称性 (R) 的 Appell 多项式与 Faulhaber 型多项式之间的结构联系。证明了此类 Appell 多项式可因式分解为 An(x) = u′Fn(u)，其中 Fn(u) 是一个系数由广义反向 Appell 多项式导出的 Faulhaber 型多项式。其核心贡献在于以反向多项式的导数形式，给出了这些系数的闭式表达，统一了关于 Bernoulli 多项式与 Euler 多项式类经典结果。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to study generalized (self-) reciprocal Appell polynomials, which play a certain role in connection with Faulhaber-type polynomials. More precisely, we show for any Appell sequence when satisfying a reflection relation that the Appell polynomials can be described by Faulhaber-type polynomials, which arise from a quadratic variable substitution. Furthermore, the coefficients of the latter polynomials are given by values of derivatives of generalized reciprocal Appell polynomials. Subsequently, we show some applications to the Bernoulli and Euler polynomials. In the context of power sums the results transfer to the classical Faulhaber polynomials.

研究动机与目标

• 研究满足反射关系 An(1−x) = (−1)nAn(x) 的 Appell 多项式的代数结构。
• 建立此类 Appell 多项式在 u = x(x−1) 下的因式分解形式 An(x) = u′Fn(u)，其中 Fn(u) 为 Faulhaber 型多项式。
• 推导 Fn(u) 系数的显式表达式，其以广义反向 Appell 多项式的导数形式表示。
• 在幂和背景下，统一并推广经典关于 Bernoulli 与 Euler 多项式的结果。

提出的方法

• 引入广义反向 Appell 多项式 An,k(x) = xkAn(x−1)，扩展标准反向多项式概念。
• 应用 umbral 微分学与微分算子，推导 An,k(x) 系数的递推关系。
• 通过二次代换 u = x(x−1) 将 An(x) 表示为新多项式 Fn(u) 的导数，从而建立与 Faulhaber 型多项式之间的联系。
• 通过在 x=1 处求值 An,2k(x) 的导数，推导 Fn(u) 的系数公式，该公式与广义反向多项式相关联。
• 建立 Fn(u) 系数 fn,k 的递推关系，表明其对称性及当 k > dn 时的消失性质。
• 将该框架应用于经典 Appell 序列（如 Bernoulli 与 Euler 多项式），恢复已知恒等式与幂和公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过二次代换 u = x(x−1) 对满足反射关系 An(1−x) = (−1)nAn(x) 的 Appell 多项式进行因式分解？
• RQ2 结果多项式 Fn(u) 的系数与广义反向 Appell 多项式 An,k(x) 之间的确切关系为何？
• RQ3 An,k(x) 的对称性质（如反回文或回文）如何约束 Fn(u) 的系数 fn,k？
• RQ4 当 An(x) = Bn(x) 时，经典 Faulhaber 幂和多项式是否可作为该框架的特例推导得出？
• RQ5 由推导出的系数递推关系，可得出哪些关于 Genocchi 数与 Euler 多项式的全新恒等式？

主要发现

• 当 n 为奇数且 n ≥1 时，Appell 多项式 An(x) 可因式分解为 An(x) = u′Fn(u)，其中 u = x(x−1)，且 Fn(u) 为 Faulhaber 型多项式。
• Fn(u) 的系数 fn,k 由 fn,k = (−1)k/k! ⋅ A(k)n,2k(1) 给出，直接关联于广义反向 Appell 多项式的导数。
• 当 0 ≤k ≤dn 时，fn,0 = −αn 且 fn,dn = (1/2)α0；当 k > dn 时，fn,k = 0，表明其具有精确的支集结构。
• 系数满足递推关系 bfn,k+2 = −(4k+6)bfn,k+1 + (n)2bfn−2,k，该关系与在给定代换下 An,2k(x) 的递推关系一致。
• 对于 Bernoulli 多项式，幂和公式 Sn(m) = ∫₀^m Bn(x)dx = Fn(y)，其中 y = m(m−1)/2，作为主定理的直接推论被恢复。
• 该框架导出关于 Genocchi 数的新恒等式，例如：对奇数 n ≥1 且 (n+1)/2 ≤k ≤n，有 ∑ν=0^k (2k−ν choose k)(n choose ν)Gn+1−ν/(n+1−ν) = 0。