[论文解读] On semifast Fourier transform algorithms

Sergei V. Fedorenko|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出并比较了有限域上的半快速傅里叶变换（SFT）算法，特别是GF(2^m)，重点在于减少乘法次数的同时保持较高的加法复杂度。文章分析了Goertzel、Blahut和Fedorenko的算法，表明SFT通过分圆陪集和正规基实现O(n log n)次乘法，加法复杂度主导为O(n²)，当n = 2^m - 1时，为长度-n变换提供了高效的计算方法。

ABSTRACT

We consider the relations between well-known Fourier transform algorithms.

研究动机与目标

• 分析并比较有限域中的半快速傅里叶变换（SFT）算法，特别是GF(2^m)，以降低计算复杂度。
• 研究SFT算法如何在保持O(n²)加法复杂度的同时最小化乘法次数，实现在有限域算术中接近FFT的效率。
• 展示分圆陪集和正规基在构建高效SFT算法结构中的应用。
• 评估SFT算法的计算复杂度，特别是GF(2^m)中乘法与加法之间的权衡。

提出的方法

• 本文使用GF(2)上模n的分圆陪集，将傅里叶变换分解为更小、可管理的分量，特别适用于n = 2^m - 1。
• 采用Goertzel方法，通过将输入多项式除以最小多项式，将问题简化为在GF(2^m)中单位根处求余数的求值。
• 将Blahut算法适配为将傅里叶变换表示为子空间上加权变换的和，使用二元循环矩阵表示变换结构。
• Fedorenko算法通过正规基表示重构变换，使矩阵A_e由块循环矩阵构成，从而简化矩阵-向量乘法。
• 变换分为两个阶段：(1) 通过多项式除法计算l个m点循环卷积；(2) 对结果应用二元矩阵A_e，其中D_e为基循环矩阵的块对角矩阵。
• 将算法结构形式化为F_e = A_e D_e f_e，其中A_e为循环矩阵的二元矩阵，D_e为基循环矩阵的块对角矩阵，从而实现高效的模运算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在GF(2^m)中通过SFT算法减少乘法次数，同时保持可管理的加法复杂度？
• RQ2 分圆陪集和正规基在GF(2^m)上构建高效SFT中的作用是什么？
• RQ3 对于n = 2^m - 1，Goertzel、Blahut和Fedorenko算法在乘法与加法复杂度上的计算复杂度如何比较？
• RQ4 在变换矩阵A_e中使用循环矩阵和块循环矩阵是否能为有限域FFT实现带来实际优化？

主要发现

• 在GF(2^m)上，当n = 2^m - 1时，SFT算法需要约n log n次乘法和O(n²)次加法，与直接计算相比，乘法成本显著降低。
• Goertzel算法将问题简化为模最小多项式的求余，随后在单位根处求值，得到具有二元循环矩阵的结构化矩阵表示。
• Blahut算法将变换表示为子空间上加权变换的和，其中矩阵A_e由二元循环矩阵和块循环矩阵构成，支持高效实现。
• Fedorenko算法通过使用正规基重构变换，使矩阵A_e由二元循环矩阵和块循环矩阵构成，提升了计算模块化程度。
• 第一阶段（循环卷积）的复杂度为O(n log n)次GF(2^m)上的乘法和加法，而第二阶段的加法次数少于2n²/log n，成为主要计算开销。
• 本文证明SFT算法通过利用分圆陪集和正规基进行代数分解，实现了有限域中接近FFT的效率。