[论文解读] On semisimplification of tensor categories

Pavel Etingof, Victor Ostrik|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2018

Algebraic structures and combinatorial models被引用 8

一句话总结

本文发展了张量范畴半简化理论，提出一种通过商去零化态射来构造半单范畴的构造方法。该文通过其 Sylow p-子群的正规化子，计算了正特征下有限群表示范畴的半简化，并将其应用于对称群 $S_{n+p}$ 和 Deligne 的范畴 $\{\mathrm{Rep}^{\rm ab}S_t$，同时确定了特征 2 下量子群和倾斜范畴的半简化结果。

ABSTRACT

We develop the theory of semisimplifications of tensor categories defined by Barrett and Westbury. In particular, we compute the semisimplification of the category of representations of a finite group in characteristic $p$ in terms of representations of the normnalizer of its Sylow $p$-subgroup. This allows us to compute the semisimplification of the representation category of the symmetric group $S_{n+p}$ in characteristic $p$, where $0\le n\le p-1$, and of the Deligne category $\underline{ m Rep}^{ m ab}S_t$, where $t\in \Bbb N$. We also compute the semisimplification of the category of representations of the Kac-De Concini quantum group of the Borel subalgebra of $\mathfrak{sl}_2$. We also study tensor functors between Verlinde categories of semisimple algebraic groups arising from the semisimplification construction, and objects of finite type in categories of modular representations of finite groups (i.e., objects generating a fusion category in the semisimplification). Finally, we determine the semisimplifications of the tilting categories of $GL(n)$, $SL(n)$ and $PGL(n)$ in characteristic $2$. In the appendix, we classify categorifications of the Grothendieck ring of representations of $SO(3)$ and its truncations.

研究动机与目标

• 发展张量范畴半简化的一般理论框架，尤其关注正特征情形。
• 利用 Sylow p-子群的正规化子，计算有限群 $G$ 在特征 $p$ 下的 $\mathrm{Rep}(G)$ 的半简化。
• 确定当 $t \in \mathbb{N}$ 时，Deligne 的阿贝尔包 $\underline{\mathrm{Rep}}^{\rm ab}S_t$ 的半简化。
• 分析量子群的半简化，特别是 $\mathfrak{sl}_2$ 的 $U_q(\mathfrak{b})$ 在一般情况与单位根情况下的表现。
• 对半简化模表示范畴中有限型对象进行分类，并确定其生成的融合子范畴。

提出的方法

• 使用 Barrett-Westbury 构造方法，通过商去张量理想中的零化态射来实现半简化。
• 应用 Green 对应关系与模表示理论，将 $\mathrm{Rep}(G)$ 与 $\mathrm{Rep}(N_G(P))$ 关联起来，其中 $P$ 是 Sylow $p$-子群。
• 借助 Harman 关于 Deligne 范畴的研究成果，计算 $\underline{\mathrm{Rep}}^{\rm ab}S_t$ 的半简化。
• 利用已知的表示论工具，分析特征 2 下 $GL(n)$、$SL(n)$ 与 $PGL(n)$ 的倾斜范畴结构。
• 使用范畴化技术与格罗滕迪克环分类，识别与 $\mathrm{Rep}(SO(3)_{\mathbb{q}})$ 等价的融合范畴。
• 应用广义的 Jacobson-Morozov 引理，并结合与等变化及满张量函子的相容性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用其 Sylow p-子群的正规化子来描述有限群 $G$ 在特征 $p$ 下的 $\mathrm{Rep}(G)$ 的半简化？
• RQ2 当 $t \in \mathbb{N}$ 时，Deligne 范畴 $\underline{\mathrm{Rep}}^{\rm ab}S_t$ 的半简化是什么？
• RQ3 Kac-De Concini 量子群 $U_q(\mathfrak{b})$（对应 $\mathfrak{sl}_2$）的表示范畴的半简化是什么？
• RQ4 在模群表示的半简化范畴中，哪些对象能生成融合子范畴？
• RQ5 在特征 2 下，$GL(n)$、$SL(n)$ 与 $PGL(n)$ 的倾斜范畴的半简化是什么？

主要发现

• 有限群 $G$ 在特征 $p$ 下的 $\mathrm{Rep}(G)$ 的半简化，与该群的 Sylow p-子群的正规化子的半简化等价。
• 当 $G = S_{n+p}$ 且 $0 \leq n < p$ 时，$\mathrm{Rep}(G)$ 的半简化可通过其 Sylow p-子群的正规化子显式计算。
• 当 $t \in \mathbb{N}$ 时，$\underline{\mathrm{Rep}}^{\rm ab}S_t$ 的半简化，利用上述结果与 Harman 的工作得以确定。
• $\mathfrak{sl}_2$ 的 $U_q(\mathfrak{b})$ 表示范畴的半简化，在一般情况与单位根情况下均已计算得出。
• 在特征 2 下，$GL(n)$、$SL(n)$ 与 $PGL(n)$ 的倾斜范畴的半简化已完全确定。
• 附录中对 $SO(3)$ 的格罗滕迪克环及其截断的所有范畴化进行了分类，结果表明其等价于 $\mathrm{Rep}(SO(3)_{\mathbb{q}})$，其中 $\mathbb{q}$ 为适当的单位根。