[论文解读] On Serre's reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of the Galois group of Q

Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 10

一句话总结

本文证明了奇、不可约的2维模$p$伽罗瓦表示（定义在$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$上）存在极小分歧的$p$-进提升，并利用这些提升将塞尔的模性猜想约化为模性提升定理。本文在低导子和低权情形下建立了无条件的模性结果，包括模23的塞尔权12表示源自拉马努金$\Delta$-函数。

ABSTRACT

We first prove the existence of minimally ramified p-adic lifts of 2-dimensional mod p representations, that are odd and irreducible, of the absolute Galois group of Q,in many cases. This is predicted by Serre's conjecture that such representations arise from newforms of optimal level and weight. Using these minimal lifts, and arguments using compatible systems, we prove some cases of Serre's conjectures in low levels and weights. For instance we prove that there are no irreducible (p,p) type group schemes over the rational integers. We prove that a Galois representation as above of Artin conductor 1 and Serre weight 12 arises from the Ramanujan Delta-function. In the last part of the paper we present arguments that reduce Serre's conjecture on modularity of Galois representations as above to proving modularity lifting theorems of the type pioneered by Wiles. While these modularity lifting results are not known as yet they might be relatively accessible because of the basic method of Wiles and Taylor-Wiles and recent developments in the p-adic Langlands programmeinitiated by Breuil.

研究动机与目标

• 建立奇、不可约的2维模$p$伽罗瓦表示（定义在$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$上）的极小分歧$p$-进提升的存在性。
• 将此类表示的塞尔模性猜想约化为广义模性提升定理的证明。
• 在低导子和低权情形下无条件证明塞尔猜想，包括导子为1和塞尔权12的情形。
• 证明在$\mathbb{Z}$上不存在不可约的$(p,p)$-型有限平坦李群概形。
• 展示当模性提升定理与相容系统及基底变换结合时，可推出剩余模性，从而将问题约化为已知的提升框架。

提出的方法

• 使用变形理论和极小变形环的有限性结果，构造模$p$伽罗瓦表示的极小$p$-进提升。
• 应用受德容与博克勒启发的基底变换技术，证明极小变形环是有限、平坦的完整交，从而保证极小提升的存在性。
• 利用伽罗瓦表示的严格相容系统，将模性从一个素数传播到另一个素数，实现对分歧素数的归纳。
• 利用分圆扭和相容系统的存在性来减少分歧并简化导子，实现将问题归纳到导子为1的情形。
• 利用福尔通、布鲁默、克里斯特勒与斯库夫关于群概形和模形式的结果，证明低导子情形下的模性。
• 利用$R = T$定理及$p$-进朗兰兹纲领的最新进展（如布里尤、基辛）论证：若在权2至$p+1$范围内模性提升定理成立，则可推出塞尔猜想在广泛情形下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为奇、不可约的2维模$p$伽罗瓦表示（定义在$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$上）构造出极小分歧的$p$-进提升？
• RQ2 塞尔的模性猜想在多大程度上可约化为相容系统的模性提升定理？
• RQ3 能否在无条件情况下证明塞尔猜想在低导子和低权情形下成立，例如导子为1和塞尔权12？
• RQ4 是否存在不可约的$(p,p)$-型有限平坦李群概形定义在$\mathbb{Z}$上？这会对模性产生何种影响？
• RQ5 相容系统的方法能否用于归纳性地消除分歧，并将一般情形约化为导子为1的情形？

主要发现

• 证明了奇、不可约的2维模$p$伽罗瓦表示（定义在$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$上）存在极小分歧的$p$-进提升。
• 无条件证明了在$\mathbb{Z}$上不存在不可约的$(p,p)$-型有限平坦李群概形。
• 通过斯库夫的结果，证明了导子为1、塞尔权12的模$p$伽罗瓦表示源自拉马努金$\Delta$-函数。
• 塞尔猜想被约化为模性提升定理：当$p > 3$时，任意奇、平方自由导子且与3互素、塞尔权$k \leq p+1$或$k \leq q_1 + 1$（其中$q_1$为最小分歧素数）的不可约模$p$表示，若提升定理成立，则其为模形式。
• 塞尔猜想的导子为1情形被约化为权在2至$p+1$之间的半稳定表示的模性提升定理。
• 本文表明，即使在假设剩余模性的前提下，模性提升定理在许多情形下仍可推出剩余模性，凸显了模性逻辑中一种出人意料的对偶性。