[论文解读] On sets defining few ordinary lines

Ben Green, Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用 4

一句话总结

该论文通过证明：对于足够大的 $ n $，平面上任意 $ n $ 个不共线的点，至少确定 $ n/2 $ 条普通线（即仅通过两个点的直线），从而解决了狄拉克-莫茨金猜想。论文建立了结构定理，表明普通线数量较少的点集几乎完全包含于一条三次曲线中，并利用该结果进一步解决了果园种植问题，证明了对于足够大的 $ n $，3-丰富线（恰好通过三个点的直线）的最大数量为 $ \lfloor n(n-3)/6 \rfloor + 1 $。结果是精确的，并对所有极值配置进行了分类。

ABSTRACT

Let P be a set of n points in the plane, not all on a line. We show that if n is large then there are at least n/2 ordinary lines, that is to say lines passing through exactly two points of P. This confirms, for large n, a conjecture of Dirac and Motzkin. In fact we describe the exact extremisers for this problem, as well as all sets having fewer than n - C ordinary lines for some absolute constant C. We also solve, for large n, the "orchard-planting problem", which asks for the maximum number of lines through exactly 3 points of P. Underlying these results is a structure theorem which states that if P has at most Kn ordinary lines then all but O(K) points of P lie on a cubic curve, if n is sufficiently large depending on K.

研究动机与目标

• 解决关于平面上 $ n $ 个非共线点所确定的普通线最小数量的长期悬而未决的狄拉克-莫茨金猜想。
• 对所有满足普通线数量少于 $ n - C $ 的 $ n $ 个点的配置进行分类，其中 $ C $ 为某个绝对常数。
• 通过确定大 $ n $ 时 3-丰富线（恰好通过三个点的直线）的最大数量，解决果园种植问题。
• 建立一个结构定理，表明具有 $ O(n) $ 条普通线的点集几乎完全包含于一条三次曲线中。

提出的方法

• 使用射影对偶性和欧拉公式，受梅尔希奥尔对西尔维斯特-加利 theorem 的证明启发，分析直线配置。
• 应用一个结构定理，即若一个点集的普通线数至多为 $ Kn $，则对于大 $ n $，除 $ O(K) $ 个点外，其余所有点均位于一条三次曲线上。
• 运用加法组合学和单位根几何的工具，控制固定点处通过的直线数量以及正多边形上点对所确定的直线数量。
• 使用抽屉原理和角度线性型的三角不等式估计，证明除原点外，任意点至多位于 $ O(n^{5/6}) $ 条连接正 $ n $ 边形顶点的直线上。
• 利用对 12 次单位根的零和元组的分类，控制具有大量共点的配置。
• 结合普通线与 3-丰富线之间的双重计数恒等式，将 $ N_2 $ 的下界转化为 $ N_3 $ 的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于足够大的 $ n $，平面上 $ n $ 个非共线点集所能确定的普通线的最小数量是多少？
• RQ2 哪些配置能实现该最小值？此类极值集合的确切结构是什么？
• RQ3 对于足够大的 $ n $，$ n $ 个点集最多能有多少条 3-丰富线（即恰好通过三个点的直线）？
• RQ4 普通线数量较少的配置如何与代数曲线（特别是三次曲线）相关联？
• RQ5 能否完全刻画具有 $ O(n) $ 条普通线的点集的结构？

主要发现

• 对于足够大的 $ n $，平面上任意 $ n $ 个非共线点集至少确定 $ n/2 $ 条普通线，从而证实了狄拉克-莫茨金猜想。
• 当 $ n $ 为奇数时，普通线的最小数量至少为 $ 3\lfloor n/4 \rfloor $，该值严格大于 $ n/2 $。
• 对于偶数 $ n $，实现 $ n/2 $ 条普通线的极值配置由 $ n/2 $ 个点位于圆上、$ n/2 $ 个点在无穷远处构成，形成对称配置。
• 所有普通线数量少于 $ n - C $ 的点集（其中 $ C $ 为某绝对常数）几乎完全包含于一条三次曲线上，且对于 $ Kn $ 条普通线，仅有 $ O(K) $ 个点位于曲线外。
• 对于足够大的 $ n $，$ n $ 个点集中 3-丰富线的最大数量为 $ \lfloor n(n-3)/6 \rfloor + 1 $，且该界是紧的。
• 对于大 $ n $，唯一实现果园问题等号的极值例子均源自不可约三次曲线，如费马三次曲线或具有有理点的椭圆曲线。