[论文解读] On several kinds of sums of balancing numbers

Takao Komatsu, G. K. Panda|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文研究了平衡数与卢卡斯-平衡数的乘积和，推导出对称和（如 ∑_{m=0}^n B_{km+r}B_{k(n−m)+r}）及包含交错级数的倒数和的闭式恒等式。研究建立了无限倒数和的倒数的取整函数恒等式，例如 ⌊(∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_k)^{-1}⌋，揭示了其精确的整数值，这些值与序列的二次型密切相关，且对卢卡斯-平衡数也得出了类似结果。

ABSTRACT

The balancing numbers $B_n$ ($n=0,1,\cdots$) are solutions of the binary recurrence $B_n=6B_{n-1}-B_{n-2}$ ($n\ge 2$) with $B_0=0$ and $B_1=1$. In this paper we show several relations about the sums of product of two balancing numbers of the type $\sum_{m=0}^n B_{k m+r}B_{k(n-m)+r}$ ($k>r\ge 0$) and the alternating sum of reciprocal of balancing numbers $\left\lfloor\left(\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{B_{l k}} ight)^{-1} ight floor$. Similar results are also obtained for Lucas-balancing numbers $C_n$ ($n=0,1,\cdots$), satisfying the binary recurrence $C_n=6C_{n-1}-C_{n-2}$ ($n\ge 2$) with $C_0=1$ and $C_1=3$. Some binomial sums involving these numbers are also explored.

研究动机与目标

• 推导平衡数对称乘积和的闭式表达式，特别是当 k > r ≥ 0 时的 ∑_{m=0}^n B_{km+r}B_{k(n−m)+r}。
• 研究平衡数与卢卡斯-平衡数的交错倒数和，并确定其倒数的取整值。
• 将类似结果推广至卢卡斯-平衡数 C_n，其满足与 B_n 相同的递推关系，但初始条件不同。
• 探讨涉及二项式系数与 3 的幂的平衡数与卢卡斯-平衡数的二项式和，包括相关恒等式。
• 通过序列性质及其生成函数，建立无限交错和倒数的精确整数值恒等式。

提出的方法

• 使用类比 Binet 公式：B_n = (α^n − β^n)/(4√2) 和 C_n = (α^n + β^n)/2，其中 α = 3 + 2√2，β = 3 − 2√2。
• 应用线性递推恒等式，包括 B_{n±m} = B_n C_m ± B_m C_n 和 C_{n±m} = C_n C_m ± 8B_n B_m。
• 利用已知的 gcd 与同余性质：gcd(B_m, B_n) = B_{gcd(m,n)} 以及对奇素数 p 有 B_p ≡ (p/8) mod p。
• 通过生成函数推导二项式和恒等式，使用 (3α − 1)^n = (2√2 α)^n 与 (3β − 1)^n = (−2√2 β)^n。
• 通过比较各项、利用单调性与符号分析，建立倒数和的上下界与不等式。
• 通过类似错位求和的估计与涉及 B_n 和 C_n 的有理表达式中的符号比较，应用取整函数恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 k > r ≥ 0 时，和 ∑_{m=0}^n B_{km+r}B_{k(n−m)+r} 的闭式表达式是什么？
• RQ2 如何用 B_n 和 B_{n−1} 表示无限交错和 ∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_k 的倒数的取整值？
• RQ3 卢卡斯-平衡数 C_n 在倒数和及其倒数方面是否存在类似恒等式？
• RQ4 能否以闭式表达平衡数与卢卡斯-平衡数的二项式系数加权和？
• RQ5 对于不同的 l 和 n，⌊(∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_{lk})^{-1}⌋ 的精确整数值是什么？

主要发现

• ∑_{k=0}^{2n} binom{2n}{k} B_k = 8^n B_n 与 ∑_{k=0}^{2n} binom{2n}{k} C_k = 8^n C_n，表明其随二项式系数呈指数增长。
• 对于交错和，有 ∑_{k=0}^{2n} binom{2n}{k} (-1)^k B_k = 4^n B_n 与 ∑_{k=0}^{2n} binom{2n}{k} (-1)^k C_k = 4^n C_n。
• ∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_k 的倒数的取整值为：当 n 为偶数时为 C_n + C_{n−1} − 1，当 n 为奇数时为 −(C_n + C_{n−1})。
• 对于 ∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_k^2，其倒数的取整值为：当 n 为偶数时为 C_n^2 + C_{n−1}^2 − 1，当 n 为奇数时为 −(C_n^2 + C_{n−1}^2)。
• 对 B_{2k}、B_{2k−1} 及其乘积也存在类似恒等式，其倒数和的取整值取决于 n 的奇偶性及序列的二次型。
• 已建立恒等式 ⌊(∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_{2k}^2)^{-1}⌋ = B_{2n}^2 + B_{2n−2}^2（当 n 为偶数时），或 −(B_{2n}^2 + B_{2n−2}^2 + 1)（当 n 为奇数时），并实现了对符号与大小的精确控制。