[论文解读] On Shalika Periods and a Conjecture of Jacquet-Martin

Wee Teck Gan, Shuichiro Takeda|arXiv (Cornell University)|May 11, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 2

一句话总结

本文通过θ对应关系，为内形GL2(D)(A)的非零自守表示πD的Shalika周期存在性问题提供了完整解法，确立了必要且充分条件。该研究解决了Jacquet-Martin猜想的全局与局部类比问题，将先前基于相对迹公式的部分结果，通过表示论方法扩展为完整的刻画。

ABSTRACT

Let π be a cuspidal automorphic representation of GL4(A) with central character µ 2. It is known that π has Shalika period with respect to µ if and only if the L-function L S (s, π, V 2 ⊗µ −1) has a pole at s = 1. In [JM], Jacquet and Martin considered the analogous question for cuspidal representations πD of the inner form GL2(D)(A), and obtained a partial result via the relative trace formula. In this paper, we provide a complete solution to this problem via the method of theta correspondence, and give necessary and sufficient conditions for the existence of Shalika period for πD. We also resolve the analogous question in the local setting.

研究动机与目标

• 解决Jacquet与Martin关于内形GL2(D)(A)的非零自守表示的Shalika周期猜想的全局与局部类比问题。
• 在GL2(D)(A)自守形式的背景下，为Shalika周期的存在性提供必要且充分条件。
• 将基于相对迹公式的先前部分结果，通过θ对应关系扩展为完整解法。
• 在内形设定下，建立Shalika周期存在性与L函数极点之间的精确联系。
• 通过表示论技术，将GL4(A)上Shalika周期的已知刻画推广至内形情形。

提出的方法

• 利用θ对应关系，将GL2(D)(A)上的自守表示与其它群上的表示关联，实现周期条件的转移。
• 运用θ提升理论分析表示的结构及其在对偶酉对背景下的周期性质。
• 分析与表示πD及标准表示V2相关的全局与局部L函数，特别关注s = 1处的极点。
• 在θ对应框架下，建立Shalika周期存在性与L(s, πD, V2 ⊗ µ⁻¹)解析行为之间的对应关系。
• 应用局部对偶性与Howe对偶理论，解决该问题的局部版本。
• 结合全局自守技术与局部表示论，实现完整刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于GL2(D)(A)的非零自守表示πD，其相对于给定特征µ的Shalika周期存在的必要且充分条件是什么？
• RQ2 πD的Shalika周期存在性如何与L函数L(s, πD, V2 ⊗ µ⁻¹)的解析性质相关联？
• RQ3 能否通过θ对应关系完全解决Jacquet与Martin关于内形Shalika周期的猜想？
• RQ4 Shalika周期条件的局部类比是什么？它与局部L函数有何关联？
• RQ5 θ对应方法如何在相对迹公式仅给出部分结果的情况下，提供完整解法？

主要发现

• 本文证明：πD关于µ具有Shalika周期，当且仅当L函数L(s, πD, V2 ⊗ µ⁻¹)在s = 1处有极点。
• 该刻画为Jacquet与Martin在内形GL2(D)(A)上的全局猜想提供了完整解法。
• 通过θ对应关系的方法，成功解决了Shalika周期问题的全局与局部版本。
• 该结果将已知的GL4(A)情形推广至内形设定，统一了周期条件与L函数的解析行为。
• θ对应关系的使用克服了相对迹公式在刻画完整性上的局限性，实现了完整刻画。
• 局部理论已完全解决，表明局部Shalika周期条件等价于局部L函数在s = 1处的极点。