[论文解读] On Shapiro's lethargy theorem and some applications

Asuman Güven Aksoy, J. M. Almira|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文将夏皮罗的迟滞定理推广至具有非递减度量的F-空间，证明在温和条件下，最佳逼近误差与算子收敛可任意缓慢。研究建立在：若序列算子以点态收敛于满射或具有丰富值域的算子，则其收敛几乎必然任意缓慢，该结果在s-数值、熵数及逼近理论中的收敛速率方面具有应用。

ABSTRACT

Shapiro's lethargy theorem states that if {A_n} is any non-trivial linear approximation scheme on a Banach space X, then the sequences of errors of best approximation E(x,A_n) = \inf_{a \in A_n} ||x - a_n||_X decay almost arbitrarily slowly. Recently, Almira and Oikhberg investigated this kind of result for general approximation schemes in the quasi-Banach setting. In this paper, we consider the same question for F-spaces with non decreasing metric d. We also provide applications to the rate of decay of s-numbers, entropy numbers, and slow convergence of sequences of operators.

研究动机与目标

• 将夏皮罗的迟滞定理从巴拿赫空间推广至具有非递减度量的F-空间。
• 研究拟巴拿赫空间与F-空间设定下最佳逼近误差的缓慢衰减。
• 建立算子序列收敛至极限算子几乎任意缓慢的条件。
• 将结果应用于s-数值、熵数及逼近算子的收敛速率。
• 探讨逼近空间与泛分析中算子收敛的含义。

提出的方法

• 在F-空间中通过平移不变度量及嵌套、闭合、可稠密的子集的公理(A1)-(A3)形式化逼近方案。
• 使用非递增零序列$\{\varepsilon_n\}$刻画逼近误差的任意缓慢衰减。
• 将广义迟滞定理应用于点态收敛于$T$的算子序列$T_n$，其中$T_n(X) \subseteq A_n$。
• 证明若$T(X) = Y$或$T(X)$包含无限维闭子空间，则$T_n \to T$的收敛几乎必然任意缓慢。
• 利用Almira与Oikhberg在拟巴拿赫空间中的结果，并通过定理4.5将其推广至F-空间。
• 借助Lorentz序列空间与逼近空间$A_p^r(X, \{A_n\})$，建立光滑性与衰减速率之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 夏皮罗的迟滞定理能否从巴拿赫空间推广至具有非递减度量的F-空间？
• RQ2 在何种条件下，点态收敛于$T$的算子序列$T_n$表现出任意缓慢的收敛？
• RQ3 极限算子$T$的值域如何影响$T_n$的收敛速率？
• RQ4 广义迟滞定理对s-数值与熵数有何影响？
• RQ5 该理论能否应用于非线性逼近过程（如贪婪算法）？

主要发现

• 在F-空间中，若$\{A_n\}$是满足夏皮罗定理的逼近方案，则最佳逼近误差$E(x, A_n)$几乎任意缓慢衰减。
• 若$T_n \to T$点态收敛且$T(X) = Y$，则$T_n \to T$几乎任意缓慢，且对任意给定速率均可能存在任意缓慢的收敛。
• 当$T(X)$包含无限维闭子空间$Z$，且$\{A_n\}$在$Z$上满足夏皮罗定理时，则$T_n \to T$相对于$Z$的收敛几乎任意缓慢。
• 对于线性算子$T_n$满足$\overline{T_n(X)} \neq Y$且$T(X)$包含$Y$的有限余维子空间时，收敛几乎任意缓慢。
• 该结果适用于经典逼近算子（如费耶尔与兰道算子），表明其在$C[a,b]$的任意无限维闭子空间上的收敛几乎任意缓慢。
• 该理论可推广至关于极小系与无条件基的贪婪逼近，其中逼近恒等算子的收敛几乎任意缓慢。