[论文解读] On Shimura curves in the Torelli locus of curves

Xin Lü, Kang Zuo|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 10

一句话总结

本文研究了曲率在曲面的托里利 locus 中的希米拉曲线，证明了对于亏格 $ g \geq 5 $ 的半稳定曲线，一般情形下不存在穆尔福曼类型的希米拉曲线，且对于亏格 $ g \geq 8 $ 的超椭圆曲线，一般情形下也不存在希米拉曲线，从而在这些情况下证实了奥尔特猜想。此外，本文还为亏格 3 和 4 构造了希米拉曲线在托里利 locus 中的显式例子。

ABSTRACT

Oort has conjectured that there do not exist Shimura curves lying generically in the Torelli locus of curves of genus $g \geq 8$. We show that there do not exist one-dimensional Shimura families of semi-stable curves of genus $g\geq 5$ of Mumford type. We also show that there do not exist Shimura curves lying generically in the Torelli locus of hyperelliptic curves of genus $g\geq 8$. The first result proves a slightly weaker form of the conjecture for the case of Shimura curves of Mumford type. The second result proves the conjecture for the Torelli locus of hyperelliptic curves. We also present examples of Shimura curves contained generically in the Torelli locus of curves of genus $3$ and $4$.

研究动机与目标

• 研究奥尔特猜想中，是否存在一般位于亏格 $ g \geq 8 $ 曲线托里利 locus 中的希米拉曲线。
• 建立对于 $ g \geq 5 $ 的半稳定穆尔福曼类型一维希米拉族的非存在性。
• 验证对于 $ g \geq 8 $ 的超椭圆曲线，希米拉曲线一般不位于其托里利 locus 中。
• 为亏格 3 和 4 的曲线构造显式例子，证明其在托里利 locus 中一般包含希米拉曲线。
• 分析 Higgs 场极大性和阿拉凯洛夫界作为识别希米拉族的关键不变量。

提出的方法

• 利用对数 Higgs 线丛理论，以及分解 $ (E, \theta) = (A^{1,0} \oplus A^{0,1}, \theta|_{A^{1,0}}) \oplus (F^{1,0} \oplus F^{0,1}, 0) $，分析基曲线 $ B $ 上阿贝尔簇的霍奇结构。
• 应用阿拉凯洛夫不等式 $ \deg A^{1,0} \leq \frac{\text{rank } A^{1,0}}{2} \cdot \deg \Omega^1_B(\log \Delta_{nc}) $，等号成立时表明 Higgs 场达到最大。
• 采用准则：一族具有严格最大 Higgs 场当且仅当其为穆尔福曼类型的希米拉族。
• 利用严格最大 Higgs 场与阿拉凯洛夫界达到等价的条件，从而刻画希米拉族。
• 通过伽罗瓦群为 $ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 $ 的 $ \mathbb{P}^1 $ 的阿贝尔覆盖构造显式曲线族，并通过 Higgs 场极大性验证其希米拉性质。
• 应用 de Jong–Zhang 和 Moonen 关于 $ p $-进霍奇理论与循环覆盖的结果，排除某些族在托里利 locus 中的一般包含性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一般位于亏格 $ g \geq 8 $ 曲线托里利 locus 中的希米拉曲线？
• RQ2 对于 $ g \geq 5 $，一维穆尔福曼类型半稳定曲线希米拉族是否存在？
• RQ3 对于 $ g \geq 8 $ 的超椭圆曲线，希米拉曲线是否一般位于其托里利 locus 中？
• RQ4 在何种几何与霍奇理论条件下，一族曲线会生成托里利 locus 中的希米拉曲线？
• RQ5 能否为低亏格曲线（如 $ g = 3 $ 和 $ g = 4 $）在托里利 locus 中构造显式希米拉曲线的例子？

主要发现

• 对于亏格 $ g \geq 5 $，不存在一维穆尔福曼类型半稳定曲线希米拉族，从而证实了奥尔特猜想的较弱形式。
• 对于亏格 $ g \geq 8 $ 的超椭圆曲线，不存在一般位于托里利 locus 中的希米拉曲线，从而在该情形下完全证实了奥尔特猜想。
• 为亏格 3 和 4 的曲线构造了托里利 locus 中的显式希米拉曲线，表明低亏格下此类族确实存在。
• 对于亏格 4 的例子，族达到了阿拉凯洛夫界，其中 $ \deg f_*\Omega^1_{S/B}(\log \Upsilon) = 4 $，$ \text{rank } A^{1,0} = 4 $，且 $ \delta_f = 12 $，从而确认了严格最大 Higgs 场。
• 该亏格 4 的族满足 $ \omega_{S/B}^2 = 36 $，且 $ c_1^2(\Omega_S^1(\log D)) = 72 = 3c_2(\Omega_S^1(\log D)) $，意味着 $ S \setminus D $ 是一个球面商。
• 该亏格 4 的希米拉曲线是非完备的，因为 $ \Delta_{nc} \neq \emptyset $，且其同构于伽罗瓦群为 $ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 $ 的 $ \mathbb{P}^1 $ 的阿贝尔覆盖族。