[论文解读] On shortened and punctured cyclic codes

Arti D. Yardi, Ruud Pellikaan|arXiv (Cornell University)|May 27, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文证明了任意有限域上的线性分块码均可通过一系列删减和/或缩短操作从一个循环码构造而成。关键贡献在于确立了循环码满足成为渐近优良码所必需的条件——即所有线性码均可由此类码导出——从而为循环码本身构成渐近优良码族留下了可能性。

ABSTRACT

The problem of identifying whether the family of cyclic codes is asymptotically good or not is a long-standing open problem in the field of coding theory. It is known in the literature that some families of cyclic codes such as BCH codes and Reed-Solomon codes are asymptotically bad, however in general the answer to this question is not known. A recent result by Nelson and Van Zwam shows that, all linear codes can be obtained by a sequence of puncturing and/or shortening of a collection of asymptotically good codes~\cite{Nelson_2015}. In this paper, we prove that any linear code can be obtained by a sequence of puncturing and/or shortening of some cyclic code. Therefore the result that all codes can be obtained by shortening and/or puncturing cyclic codes leaves the possibility open that cyclic codes are asymptotically good.

研究动机与目标

• 研究循环码是否可作为通过删减和缩短构造所有线性码的通用源。
• 确定循环码族是否为渐近优良码，这是编码理论中长期悬而未决的开放问题。
• 确立循环码满足Nelson和Van Zwam提出的码族成为渐近优良码所必需的条件。
• 提供一种构造性证明，表明任意线性码均可通过一系列删减和/或缩短操作从一个循环码获得。

提出的方法

• 使用具有重复模式的结构化分块矩阵表示，为长度为 $ n $ 的循环码构造生成矩阵。
• 在特定坐标位置上应用一系列缩短操作，以消除生成矩阵中的不需要行。
• 对剩余列应用删减操作，以移除最左侧的块，将矩阵简化为所需形式。
• 利用结果矩阵的行空间与目标线性码的行空间一致的事实。
• 利用循环码的结构，通过精心选择缩短和删减的位置，将任意线性码嵌入其中。
• 证明所有操作完成后得到的最终生成矩阵与目标码 $ C $ 的生成矩阵完全一致，从而证实构造的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个线性分块码均可通过删减和/或缩短某个循环码获得？
• RQ2 从循环码出发存在构造序列是否意味着循环码可能为渐近优良码？
• RQ3 Nelson和Van Zwam关于渐近优良码族的研究结果与循环码的结构有何关联？
• RQ4 循环码的何种结构特性使其可通过删减和缩短生成所有线性码？
• RQ5 鉴于所有线性码均可通过这些操作从循环码导出，循环码族是否为渐近优良码？

主要发现

• 任意有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的线性分块码均可通过一系列删减和/或缩短操作从某个循环码获得。
• 该构造过程涉及通过块重复和有策略的零填充，将目标码的生成矩阵嵌入更大的循环码结构中。
• 在特定间隔处应用缩短操作，以消除生成矩阵中的中间行，仅保留所需的码字。
• 在缩短之后应用删减操作，以移除左侧的冗余列，将矩阵简化为与目标码生成矩阵完全一致的形式。
• 所有操作完成后得到的最终生成矩阵与目标码原始生成矩阵完全匹配，确认了构造的正确性。
• 该结果意味着循环码满足渐近优良性的必要条件，从而为循环码族本身构成渐近优良码族留下了可能性。