[论文解读] On shrinking targets for Z^m actions on tori

Yann Bugeaud, Stephen Harrap+2 more|ArXiv.org|Jul 24, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用 13

一句话总结

本文研究了环面上的 ℤ^m 作用的收缩目标问题，将无理旋转推广至高维线性型。证明了集合 Bad_A —— 被矩阵 A 的轨道不良逼近的点 —— 与任意正则分形集相交时，其交集的 Hausdorff 维数达到可能的最大值，将经典丢番图逼近结果推广至高秩作用与分形几何领域。

ABSTRACT

Let A be an n by m matrix with real entries. Consider the set Bad_A of x \in [0,1)^n for which there exists a constant c(x)>0 such that for any q \in Z^m the distance between x and the point {Aq} is at least c(x) |q|^{-m/n}. It is shown that the intersection of Bad_A with any suitably regular fractal set is of maximal Hausdorff dimension. The linear form systems investigated in this paper are natural extensions of irrational rotations of the circle. Even in the latter one-dimensional case, the results obtained are new.

研究动机与目标

• 将无理旋转的古典收缩目标结果推广至环面上的高秩 ℤ^m 作用。
• 研究集合 Bad_A —— 具有统一丢番图逼近界之点 —— 与环面分形子集的交集。
• 在分形集满足正则性条件时，建立该交集达到可能最大 Hausdorff 维数的结论。
• 通过矩阵作用将一维丢番图逼近结果推广至高维线性型。
• 统一并推广度量数论中关于不良逼近集与收缩目标的先前结果。

提出的方法

• 将 Bad_A 定义为 [0,1)^n 中满足对所有非零 q ∈ ℤ^m 有 ||Aq - x|| ≥ c(x)|q|^{-m/n} 的点 x 的集合。
• 利用最佳逼近理论及向量序列 {y_i} 的间隙子序列，构造一族嵌套集合 B_{y_φ(i)}(c)。
• 应用定理 3（关于由统一逼近界定义的集合的维数）以从下方界定 B_{y_φ(i)}(c) 的维数。
• 通过三角不等式与范数估计，推导出 ||Aq - x|| 的统一下界，从而建立 Bad_A ∩ K ⊇ B_{y_φ(i)}(c) 对足够小的 c 成立。
• 利用序列 {y_φ(i)} 的间隙性及对 ||A^T y_i|| 的界，控制逼近中的误差项。
• 通过结合 K 的正则性与 c → 0 时维数的收敛性，得出 dim(Bad_A ∩ K) = dim(K) = δ。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 [0,1)^n 中，Bad_A 与正则分形集 K 的交集的 Hausdorff 维数是多少？
• RQ2 环面上 ℤ^m 作用的收缩目标问题如何推广古典的无理旋转结果？
• RQ3 当 K 是维数 δ > n−1 的分形时，Bad_A ∩ K 的最大维数是否仍可保持？
• RQ4 在何种条件下，被矩阵 A 的轨道不良逼近的点集与分形相交后仍保持全维数？
• RQ5 结果在多大程度上依赖于矩阵 A 的结构与逼近序列的选择？

主要发现

• 对于任意正则分形集 K ⊂ [0,1)^n 且 Hausdorff 维数 δ > n−1，Bad_A 与 K 的交集的 Hausdorff 维数等于 δ。
• 该结果对所有矩阵 A ∈ Mat_{n×m}(ℝ) 成立，只要 A 不属于例外集 Mat_{n×m}^*(ℝ)，后者对应于逼近性质退化的矩阵。
• 对任意此类 A，集合 Bad_A ∩ K 达到可能的最大维数，意味着不良逼近点在分形意义下在 K 中稠密。
• 证明依赖于构造一组最佳逼近的间隙序列，并证明相关集合 B_{y_φ(i)}(c) 从下方逼近 Bad_A ∩ K 的维数。
• 通过范数估计与三角不等式，证明了对充分小的 c > 0，有 B_{y_φ(i)}(c) ⊆ Bad_A ∩ K。
• 通过结合定理 3 的下界与 K 的正则性所得上界，证明了 Bad_A ∩ K 的维数等于 δ。