[论文解读] On Siegel's problem for E-functions

Stéphane Fischler, Tanguy Rivoal|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 2

一句话总结

本文研究了西格尔1949年提出的問題：所有E-函數是否都能表示為具有有理參數的超幾何E-函數的多項式。利用漸近展開式以及G-函數與H-環（由代數數、1/π及Gamma函數導數生成）的性質，證明若西格尔問題的答案為肯定，則在代數點處取值的G-函數值所構成的環G必須包含於H中。此包含關係在標準猜想下極不可能成立，因而指向一般E-函數的否定答案。

ABSTRACT

Siegel defined in 1929 two classes of power series, the E-functions and G-functions, which generalize the Diophantine properties of the exponential and logarithmic functions respectively. In 1949, he asked whether any E-function can be represented as a polynomial with algebraic coefficients in a finite number of hypergeometric E-functions with rational parameters. The case of E-functions of differential order less than 2 was settled in the affirmative by Gorelov in 2004, but Siegel's question is open for higher order. We prove here that if Siegel's question has a positive answer, then the ring G of values taken by analytic continuations of G-functions at algebraic points must be a subring of the relatively "small" ring H generated by algebraic numbers, $1/π$ and the values of the derivatives of the Gamma function at rational points. Because that inclusion seems unlikely (and contradicts standard conjectures), this points towards a negative answer to Siegel's question in general. As intermediate steps, we first prove that any element of G is a coefficient of the asymptotic expansion of a suitable E-function, which completes previous results of ours. We then prove (in two steps) that the coefficients of the asymptotic expansion of an hypergeometric E-function with rational parameters are in H. Finally, we prove a similar result for G-functions.

研究动机与目标

• 解決西格尔1949年提出的問題：所有E-函數是否都能表示為具有有理參數的超幾何E-函數的多項式。
• 研究G-值（G-函數在代數點處取值）的代數結構，及其在特定環H中的可能包含關係。
• 建立E-函數漸近展開係數與環H之間的聯繫，特別是針對具有有理參數的超幾何E-函數。
• 證明若西格尔問題的答案為肯定，則G-值環G必須包含於H中，而此結論與標準猜想相矛盾。
• 透過證明G-函數的解析延拓與係數環結構的類似結果，將分析推廣至G-函數。

提出的方法

• 證明G-值環G中的每一元素皆可作為某個E-函數漸近展開式中的一個係數，從而補全先前的研究結果。
• 證明任意具有有理參數的超幾何E-函數之漸近展開式係數屬於H環，其中H定義為由代數數、1/π及在有理點處的Gamma函數導數值所生成的環。
• 利用留數計算與Puiseux展開式，將H-包含性結果從pFp推廣至一般形式的pFq(z^{q−p+1})級數（具有有理參數）。
• 利用在割補平面上G-函數的解析延拓結構，特別是在無窮遠點與有限奇點處的性質，分析其局部展開式。
• 應用André、Chudnovsky與Katz在微分伽羅瓦理論方面的結果，以控制連接常數與單值性不變量的算術性質。
• 綜合上述結果，證明若西格尔問題的答案為肯定，則必有G ⊆ H，但此包含關係在超越數論的標準猜想下極不可能成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每個E-函數都能表示為有限多個形如pFq的超幾何E-函數的代數係數多項式？
• RQ2 G-函數在代數點處取值所構成的環G具有何種算術結構？
• RQ3 G-值環G是否包含於由代數數、1/π及Gamma函數在有理點處的導數值所生成的H環中？
• RQ4 E-函數與G-函數的漸近展開式如何與其係數的算術性質相關聯？
• RQ5 G ⊆ H的包含關係是否與超越數論中的標準猜想相矛盾？此矛盾對西格尔問題有何含義？

主要发现

• G-值環G中的任一元素皆可作為某個E-函數漸近展開式中的一個係數，從而補全先前的研究結果。
• 任意具有有理參數的超幾何E-函數之漸近展開式係數屬於H環，其中H由代數數、1/π及Γ(n)(r)（r ∈ Q \√Z≤0）的值所生成。
• 此H-包含性結果可透過留數計算與Puiseux展開式推廣至一般形式的pFq(z^{q−p+1})級數（具有有理參數）。
• 在適當條件下，任一G-函數在無窮遠點處的解析延拓具有形式∑ ce,k,n z^{-e-n} log(1/z)^k 的局部展開式，其係數屬於H。
• 若西格尔問題的答案為肯定，則必有G ⊆ H；然而，此包含關係在超越數論的標準猜想下極不可能成立。
• 本文結論為西格尔問題很可能有否定答案，因為G ⊆ H與廣泛接受的猜想（如涉及週期與L-函數特殊值的猜想）相矛盾。