[论文解读] On Simplex Pivoting Rules and Complexity Theory

Ilan Adler, Christos H. Papadimitriou+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文证明了确定某个给定基是否出现在某些确定性单纯形枢轴规则的路径上是PSPACE-完全的，这意味着除非P = PSPACE，否则此类规则无法构成强多项式算法。此外，本文表明丹齐格的影子顶点算法具有可 tractable（多项式时间）的路径问题，同时推测许多经典枢轴规则——包括最陡边规则和圈圈法——也可能具有不可解性。

ABSTRACT

We show that there are simplex pivoting rules for which it is PSPACE-complete to tell if a particular basis will appear on the algorithm's path. Such rules cannot be the basis of a strongly polynomial algorithm, unless P = PSPACE. We conjecture that the same can be shown for most known variants of the simplex method. However, we also point out that Dantzig's shadow vertex algorithm has a polynomial path problem. Finally, we discuss in the same context randomized pivoting rules.

研究动机与目标

• 研究确定性单纯形枢轴规则的路径问题的计算复杂性，即判断给定基是否出现在算法路径上。
• 评估此类复杂性结果是否能排除强多项式单纯形算法的存在。
• 探讨知名枢轴规则（尤其是丹齐格的影子顶点算法）的可解性，并与其他规则进行比较。
• 将分析扩展至随机化枢轴规则，并为这类规则定义适当的路径问题概念。
• 推测许多经典枢轴规则（包括最陡边规则和圈圈法）是不可解的，从而限制其在强多项式算法中的应用。

提出的方法

• 将枢轴规则定义为一种确定性、强多项式时间的程序，能够增加一个势函数，并在最优性处终止。
• 将路径问题形式化为：给定一个线性规划问题和一个基，该基是否出现在该规则的路径上？该问题被证明属于PSPACE。
• 构造一个人为的、非自然的枢轴规则，通过从一个已知的PSPACE-完全问题归约，证明其路径问题为PSPACE-完全。
• 通过证明基的包含性可通过求解一个含一个变量的2n个线性不等式组来判定，从而证明丹齐格的影子顶点算法具有可解的路径问题。
• 为随机化枢轴规则定义一个承诺问题变体：区分一个基在路径上出现的概率是否至多为f(m,n)，或至少为f(m,n)+1/p(m,n)，其中p为多项式，f为某函数。
• 证明：若一个随机化枢轴规则在期望意义下为强多项式，则其路径问题属于BPP，从而将复杂性类与算法性能联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的确定性枢轴规则，其路径问题是否计算上困难？若是，是否为PSPACE-完全？
• RQ2 路径问题的PSPACE-完全性是否可用于排除强多项式单纯形算法的存在？
• RQ3 丹齐格的影子顶点算法是否具有可解的路径问题？其与其它枢轴规则相比如何？
• RQ4 随机化枢轴规则的路径问题能否被有意义地形式化？其属于哪个复杂性类？
• RQ5 经典枢轴规则（如最陡边规则或圈圈法）是否不可解？能否使用类似技术加以证明？

主要发现

• 存在一种确定性枢轴规则，其路径问题为PSPACE-完全，这意味着除非P = PSPACE，否则基于该规则的任何强多项式算法均不可能存在。
• 丹齐格的影子顶点算法具有可在多项式时间内求解的路径问题，因为基是否在路径上可归约为求解一个含一个变量的2n个线性不等式组。
• 任何强多项式随机化枢轴规则的路径问题均属于BPP，从而为这类规则提供了复杂性理论上的刻画。
• 本文推测，许多经典枢轴规则（包括最陡边规则和圈圈法）是不可解的，尽管证明这一点仍具挑战性。
• 结果表明，路径问题的复杂性是构建强多项式单纯形算法的主要障碍，且大多数已知的枢轴规则可能本质上是不可解的。
• 分析揭示了单纯形法的平均情况复杂性与路径预测不可解性之间存在深刻联系，从而解释了历史上在平均情况分析中遇到的困难。