[论文解读] On simplified NP-complete variants of Not-All-Equal 3-Sat and 3-Sat

Andreas Darmann, Janosch Döcker|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2019

Formal Methods in Verification参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文通过证明在严格变量出现约束下，Not-All-Equal 3-Sat 和 3-Sat 的简化单调变体仍保持 NP-完全性，建立了新的 NP-完全性结果。结果表明，即使在每个变量恰好出现四次的线性单调公式中，Monotone Not-All-Equal 3-Sat 依然是 NP-完全的；而当每个变量恰好出现 k 次未取反和 k 次取反（k ≥ 3）时，Monotone 3-Sat 也是 NP-完全的，或当每个变量恰好出现 k′ 次未取反和一次取反（k′ ≥ 5）时，同样为 NP-完全。

ABSTRACT

We consider simplified, monotone versions of Not-All-Equal 3-Sat and 3-Sat, variants of the famous Satisfiability Problem where each clause is made up of exactly three distinct literals. We show that Not-All-Equal 3-Sat remains NP-complete even if (1) each variable appears exactly four times, (2) there are no negations in the formula, and (3) the formula is linear, i.e., each pair of distinct clauses shares at most one variable. Concerning 3-Sat we prove several hardness results for monotone formulas with respect to a variety of restrictions imposed on the variable appearances. Monotone 3-Sat is the restriction of 3-Sat to monotone formulas, i.e. to formulas in which each clause contains only unnegated variables or only negated variables, respectively. In particular, we show that, for any $k\geq 5$, Monotone 3-Sat is NP-complete even if each variable appears exactly $k$ times unnegated and exactly once negated. In addition, we show that Monotone 3-Sat is NP-complete even if each variable appears exactly three times unnegated and three times negated, respectively. In fact, we provide a complete analysis of Monotone 3-Sat with exactly six appearances per variable. Further, we prove that the problem remains NP-complete when restricted to instances in which each variable appears either exactly once unnegated and three times negated or the other way around. Thereby, we improve on a result by Darmann et al. [DDD18] showing NP-completeness for four appearances per variable. Our stronger result also implies that 3-Sat remains NP-complete even if each variable appears exactly three times unnegated and once negated, therewith complementing a result by Berman et al. [BKS03].

研究动机与目标

• 确定单调版 3-Sat 和 Not-All-Equal 3-Sat 从多项式时间可解转变为 NP-完全性的变量出现频率的精确临界点。
• 解决 Monotone 3-Sat 在变量出现平衡与不平衡情况下的开放复杂性问题，特别是针对 k=2,3,4 的情况。
• 通过降低变量出现次数的界限并证明在更严格的结构约束（如线性与单调性）下仍保持 NP-完全性，强化先前的困难性结果。
• 对每个变量恰好出现六次的 Monotone 3-Sat 提供完整的复杂性分类，区分平衡与非平衡情况。
• 补充 Berman 等人 [BKS03] 关于 3-Sat-E4 的结果，证明当每个变量恰好出现三次未取反和一次取反，或反之亦然时，问题仍为 NP-完全。

提出的方法

• 从已知的 NP-完全问题进行归约，构造 Not-All-Equal 3-Sat 和 3-Sat 的单调、线性且出现次数受限的实例。
• 设计一种使用辅助变量的变量分裂装置，以在不显式使用取反的情况下模拟取反文字，从而保证单调性。
• 通过基础函数 B 构造子句，以强制两个分裂变量取值不同，从而在单调公式中实现对取反的模拟。
• 利用单调 3-Sat-E4 的构造，证明当每个变量恰好出现三次未取反和一次取反，或反之亦然时，3-Sat 仍为 NP-完全。
• 应用 Tovey 定理，证明 k=1 时问题平凡，并识别出在 (k,1) 和 (k,k) 设置下 k=2,3,4 的开放情况。
• 通过反证法和结构分析，验证所构造的实例满足所有约束：线性性、单调性和精确的变量出现次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当每个变量恰好出现四次、公式为线性且不包含取反时，Monotone Not-All-Equal 3-Sat 是否为 NP-完全？
• RQ2 对于 Monotone 3-Sat，当每个变量恰好出现 k 次未取反和 k 次取反（对所有 k ≥ 3）时，问题是否为 NP-完全？
• RQ3 当每个变量恰好出现 k′ 次未取反和一次取反（对所有 k′ ≥ 5）时，Monotone 3-Sat 是否为 NP-完全？
• RQ4 当每个变量恰好出现三次未取反和一次取反，或反之亦然时，Monotone 3-Sat 的复杂性状态如何？
• RQ5 是否存在 Monotone 3-Sat-(2,2) 的不可满足实例？还是该问题显然可满足？

主要发现

• 即使每个变量恰好出现四次、公式为线性且不包含取反，Monotone Not-All-Equal 3-Sat 依然是 NP-完全的。
• 当每个变量恰好出现 k 次未取反和 k 次取反（对所有 k ≥ 3）时，Monotone 3-Sat 为 NP-完全。
• 当每个变量恰好出现 k′ 次未取反和一次取反（对所有 k′ ≥ 5）时，Monotone 3-Sat 为 NP-完全。
• 当每个变量恰好出现 p 次未取反和 (6−p) 次取反（对所有 p ∈ {1,2,3,4,5}）时，Monotone 3-Sat 为 NP-完全。
• 当每个变量恰好出现三次未取反和一次取反，或三次取反和一次未取反时，Monotone 3-Sat 为 NP-完全。
• 当每个变量恰好出现三次未取反和一次取反，或三次取反和一次未取反时，3-Sat-E4 为 NP-完全，补充了 Berman 等人 [BKS03] 的结果。