[论文解读] On Simultaneous Palindromes

Attila Bérczes, Volker Ziegler|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文研究了在两个不同整数基 $g$ 和 $h$ 下为回文数的整数的有限性，重点关注 $h \mid g$ 且 $g$、$h$ 乘法独立的情形。通过丢番图逼近和对对数形式的界限分析，作者建立了某些在基 $g$ 下为回文数且在基 $h$ 下也为回文数的数的指数 $n$ 的显式上界，并证明了绝大多数基 $g$ 回文数在基 $h$ 下并非回文数。关键结果是对形如 $N = a g^n + \overline{(a)_g}$ 的同时回文数的 $n$ 的可计算上界，该结果在 (2,10) 和 (2,3) 等基对中具有应用价值。

ABSTRACT

A palindrome in base $g$ is an integer $N$ that remains the same when its digit expansion in base $g$ is reversed. Let $g$ and $h$ be given distinct integers $>1$. In this paper we discuss how many integers are palindromes in base $g$ and simultaneously palindromes in base $h$.

研究动机与目标

• 确定是否存在有限多个正整数在两个不同整数基 $g$ 和 $h$ 下均为回文数，特别是当 $h \mid g$ 且 $g, h$ 乘法独立时。
• 为形如 $N = a g^n + \overline{(a)_g}$ 的数在基 $g$ 和基 $h$ 下同时为回文数时，建立指数 $n$ 的有效上界。
• 通过证明对于固定的 $g$ 和 $h$，绝大多数基 $g$ 回文数在基 $h$ 下并非回文数，量化同时回文数的稀少性，并给出非同时回文数数量的显式下界。
• 通过丢番图逼近和连分数收敛性，提供一种计算框架，用于寻找给定形式的所有同时回文数，特别是针对 (2,10) 和 (2,3) 等基对。

提出的方法

• 推导一个基本引理（引理1），给出在 $h \mid g$ 且 $g, h$ 乘法独立的假设下，数 $N = a g^n + \sum_{i=0}^{n-m-1} a_i g^i$ 同时在基 $g$ 和基 $h$ 下为回文数的必要条件。
• 利用对数线性型的界限，推导出使得 $N$ 同时在两个基下为回文数的 $n$ 的上界，该上界基于 $a$、$g$ 和 $h$ 的大小。
• 应用连分数理论和 $\log g / \log h$ 的有理逼近，表明仅存在有限多个 $n$ 满足所需的对数不等式。
• 利用 $N$ 在基 $h$ 下为回文数的条件，分两种情况讨论：当 $\alpha = a / \overline{(\overline{(a)_g})_h}$ 与 $g$ 和 $h$ 乘法独立时，以及当它满足非平凡乘法关系时。
• 利用 $N \equiv \overline{(a)_g} \pmod{h^{m+n_a}}$ 的事实，约束基 $h$ 下最后 $m+n_a$ 位数，从而结合模运算和数字符号反转的约束。
• 在 SageMath 中实现计算搜索，验证了所有形如 $a \cdot 10^n + \overline{(a)_{10}}$ 的同时回文数，其中 $a < 10^6$，$10 \nmid a$，且 $\overline{(a)_{10}}$ 为奇数，该计算在单台电脑上耗时约 80 分钟。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $2 \leq h < g$，$h \mid g$，且 $g,h$ 乘法独立的基对 $(g,h)$，是否存在仅存在有限多个在两个基下均为回文数的正整数？
• RQ2 是否存在一个有效的 $n$ 的上界，使得形如 $N = a g^n + \overline{(a)_g}$ 的数在基 $g$ 和基 $h$ 下同时为回文数？
• RQ3 有多少个基 $g$ 回文数也是基 $h$ 回文数？我们能否建立基 $g$ 回文数中非基 $h$ 回文数的下界？
• RQ4 我们能否通过算法找到所有给定形式（如 $a \cdot 10^n + \overline{(a)_{10}}$）的同时回文数？该搜索的效率如何？
• RQ5 是否存在仅有限多个在基 2 和基 3 下均为回文数的整数？如果存在，其在给定界限以下的数量是多少？

主要发现

• 对于 $h=2$，$g=10$，且 $a < 10^6$，数 $N = a \cdot 10^n + \overline{(a)_{10}}$ 为二进制回文数的必要条件是 $n \leq 2.65 \times 10^{15}$，该结果由定理 1 推导得出。
• 使用 SageMath 的计算机搜索在约 31 天又 17 小时内完成，发现 $10^{18}$ 以下仅有 62 个在基 2 和基 10 下同时为回文数的数。
• 对于基对 (2,3)，在 $3^{66} \approx 3.09 \times 10^{31}$ 以下仅存在 9 个同时回文数，表明该基对下同时回文数的有限性。
• 在基 5 和 7、11 和 13、以及 7 和 29 下，同时回文数的数量分别为 57、58 和 73，所有数量均低于 $10^{16}$ 至 $10^{17}$ 的界限，表明其稀疏性。
• 定理 2 证明了对于任意 $\epsilon > 0$，存在至少 $\Omega_{\epsilon,g,h}(x^{1/2 - \epsilon})$ 个不超过 $x$ 的基 $g$ 回文数不是基 $h$ 回文数，且给出了显式常数。
• 该方法通过将 $n$ 限制在较小值（例如 $n \leq 30$）来显著缩小同时回文数的搜索空间，当使用 $\log g / \log h$ 的连分数逼近时，从而实现高效计算。