[论文解读] On simultaneous rational approximation to a real number and its integral powers, II

Dzmitry Badziahin, Yann Bugeaud|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文确定了满足同时有理逼近指数 λₙ(ξ) 等于或大于给定 λ > 1 的实数 ξ 的集合的 Hausdorff 维数，证明其为 2/(n(1+λ))。作者提供了一种新颖且简洁的证明，表明 (ξ, ξ², ..., ξⁿ) 的所有最佳同时逼近均位于 Veronese 曲线上，这意味着优良逼近源于对 ξ 本身的有理逼近，从而为 λₙ(ξ) 的水平集给出了精确的维数界限。

ABSTRACT

For a positive integer $n$ and a real number $ξ$, let $λ_n (ξ)$ denote the supremum of the real numbers $λ$ for which there are arbitrarily large positive integers $q$ such that $|| q ξ||, || q ξ^2 ||, \ldots , ||q ξ^n||$ are all less than $q^{-λ}$. Here, $|| \cdot ||$ denotes the distance to the nearest integer. We establish new results on the Hausdorff dimension of the set of real numbers $ξ$ such that $λ_n (ξ)$ is equal (or greater than or equal) to a given value.

研究动机与目标

• 确定满足 λₙ(ξ) ≥ λ 或 λₙ(ξ) = λ 的实数 ξ 的集合的 Hausdorff 维数，其中 λ > 1。
• 解决关于指数 λₙ(ξ) 谱的一个开放问题，确认其包含 [1/n, ∞]，并计算水平集的精确维数。
• 提供一种新颖且简明的证明，表明 (ξ, ξ², ..., ξⁿ) 的所有最佳同时逼近均位于 Veronese 曲线 x ↦ (x, x², ..., xⁿ) 上。
• 将该方法推广至其他多项式曲线 (x^{d₁}, ..., x^{d_ℓ})，并推导此类逼近集的维数结果。

提出的方法

• 利用 Veronese 嵌入刻画 (ξ, ξ², ..., ξⁿ) 的所有最佳同时逼近为有理点 (p/q, (p/q)², ..., (p/q)ⁿ)。
• 应用基于行列式的论证，表明若多个逼近彼此接近，则其分子之比必须满足代数恒等式，从而表明它们源自同一个基本有理数。
• 建立 λₙ(ξ) 与 wₙ(ξ) 之间的传递不等式，利用已知的 wₙ(ξ) ≥ w 集合的维数结果。
• 通过 Jarník–Besicovich 定理及其在更高 n 情况下的推广推导维数界限，利用关系式 λₙ(ξ) ≥ (λ₁(ξ) - n + 1)/n。
• 利用连分数理论与丢番图逼近方法构造显式例子，并分析优良逼近的结构。
• 将该方法扩展至任意多项式曲线 (x^{d₁}, ..., x^{d_ℓ})，其中 d₁ = 1 且 d_{j+1} - d_j > λ 对 j = 1, ..., ℓ - 1 成立，得到集合 {ξ : max_j ||qξ^{d_j}|| < q^{-λ} 无穷多次} 的维数为 2/(d_ℓ(λ + 1))。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 λ > 1 且 n ≥ 2，集合 {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) ≥ λ} 的 Hausdorff 维数是多少？
• RQ2 对于 λ > 1 且 n ≥ 2，水平集 {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) = λ} 的 Hausdorff 维数是多少？
• RQ3 所有 (ξ, ξ², ..., ξⁿ) 的最佳同时逼近是否均形如 (p/q, (p/q)², ..., (p/q)ⁿ)，即位于 Veronese 曲线上？
• RQ4 用于 Veronese 曲线的方法能否推广至其他多项式曲线，以计算逼近集的维数？
• RQ5 不等式 λ̂ₙ(ξ) ≤ max{1/n, 1/λ₁(ξ)} 是否成立？能否通过同一框架重新证明？

主要发现

• 对于任意整数 n ≥ 2 和实数 λ > 1，集合 {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) ≥ λ} 的 Hausdorff 维数恰好为 2/(n(1 + λ))。
• 当 λ > 1 且 n ≥ 2 时，水平集 {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) = λ} 的维数同样为 2/(n(1 + λ))。
• 所有 (ξ, ξ², ..., ξⁿ) 的最佳同时逼近均位于 Veronese 曲线 x ↦ (x, x², ..., xⁿ) 上，该结论通过行列式恒等式与可除性论证得以证明。
• 该方法可推广至任意多项式曲线 (x^{d₁}, ..., x^{d_ℓ})，其中 d₁ = 1 且对所有 j 有 d_{j+1} - d_j > λ，此时满足 max_j ||qξ^{d_j}|| < q^{-λ} 无穷多次的 ξ 的集合的维数为 2/(d_ℓ(λ + 1))。
• 给出了不等式 λ̂ₙ(ξ) ≤ max{1/n, 1/λ₁(ξ)} 的另一种证明，通过可除性与行列式界导出矛盾，从而在不等式不成立时推出矛盾。
• 结果确认了 λₙ(ξ) 的谱包含 [1/n, ∞]，且当 λ > 1 时，水平集的维数完全确定。