[论文解读] On sizes of complete arcs in PG(2,q)

Daniele Bartoli, Alexander A. Davydov+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过计算机辅助的随机贪心算法和新颖的构造方法，为 $q \leq 4561$ 的射影平面 $PG(2,q)$ 提供了完整圆弧最小大小的新上界。研究证明：当 $q \leq 2593$ 时，$t_2(2,q) < 4.5\sqrt{q}$；当 $q \leq 4561$ 时，$t_2(2,q) < 4.75\sqrt{q}$，并推测对所有 $q \geq 23$，有 $t_2(2,q) < \sqrt{q} \ln^{0.75}q$ 成立。研究在 $q/3$ 到 $q/2$ 的大范围内构造了 $k$-大小的完整圆弧。结果显著扩展了已知上界及完整圆弧大小的谱系。

ABSTRACT

New upper bounds on the smallest size t_{2}(2,q) of a complete arc in the projective plane PG(2,q) are obtained for 853 &lt;= q &lt;= 4561 and q\in T1\cup T2 where T1={173,181,193,229,243,257,271,277,293,343,373,409,443,449,457, 461,463,467,479,487,491,499,529,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631, 641,661,673,677,683,691, 709}, T2={4597,4703,4723,4733,4789,4799,4813,4831,5003,5347,5641,5843,6011,8192}. From these new bounds it follows that for q &lt;= 2593 and q=2693,2753, the relation t_{2}(2,q) &lt; 4.5\sqrt{q} holds. Also, for q &lt;= 4561 we have t_{2}(2,q) &lt; 4.75\sqrt{q}. It is showed that for 23 &lt;= q &lt;= 4561 and q\in T2\cup {2^{14},2^{15},2^{18}}, the inequality t_{2}(2,q) &lt; \sqrt{q}ln^{0.75}q is true. Moreover, the results obtained allow us to conjecture that this estimate holds for all q &gt;= 23. The new upper bounds are obtained by finding new small complete arcs with the help of a computer search using randomized greedy algorithms. Also new constructions of complete arcs are proposed. These constructions form families of k-arcs in PG(2,q) containing arcs of all sizes k in a region k_{min} &lt;= k &lt;= k_{max} where k_{min} is of order q/3 or q/4 while k_{max} has order q/2. The completeness of the arcs obtained by the new constructions is proved for q &lt;= 1367 and 2003 &lt;= q &lt;= 2063. There is reason to suppose that the arcs are complete for all q &gt; 1367. New sizes of complete arcs in PG(2,q) are presented for 169 &lt;= q &lt;= 349 and q=1013,2003.

研究动机与目标

• 为较大的 $q$ 值改进 $PG(2,q)$ 中完整圆弧最小大小 $t_2(2,q)$ 的上界。
• 扩展已知的 $PG(2,q)$ 中完整圆弧大小可能范围，特别是针对 $q \leq 4561$ 的情况。
• 开发并验证生成具有可控大小的完整圆弧的新构造方法。
• 推测对所有 $q \geq 23$，存在统一的渐近上界 $t_2(2,q) < \sqrt{q} \ln^{0.75}q$。

提出的方法

• 使用计算机搜索结合随机贪心算法，为 $853 \leq q \leq 4561$ 及特定 $q \in T_1 \cup T_2$ 发现新的小型完整圆弧。
• 提出三种新的 $PG(2,q)$ 中 $k$-圆弧构造族，可在 $\sim q/3$ 到 $\sim q/2$ 的区间内生成完整圆弧。
• 在贪心算法中使用圆锥曲线和三次曲线的点作为起始集合，以高效探索圆弧大小谱系。
• 证明了当 $q \leq 1367$ 和 $2003 \leq q \leq 2063$ 时，所构造圆弧的完备性，并在更大 $q$ 值下提供了强有力的完备性证据。
• 通过从圆锥曲线或三次曲线上选取点来引导圆弧生成，利用已知的几何构造（如 Segre 的思想）。
• 应用理论界和推论（如推论 5.34、定理 5.35）以支持对渐近行为的推测。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $q \leq 4561$，特别是此前未覆盖的素幂 $q$，$t_2(2,q)$ 的最紧致已知上界是什么？
• RQ2 新的构造方法能否生成 $k$-大小从 $\sim q/3$ 到 $\sim q/2$ 的完整圆弧？
• RQ3 $t_2(2,q) < \sqrt{q} \ln^{0.75}q$ 是否对所有 $q \geq 23$ 成立？能否证明或强有力支持？
• RQ4 对于 $q \leq 4561$，$PG(2,q)$ 中完整圆弧大小的谱系范围如何？是否能实现从 $t_2(2,q)$ 到 $M_q$ 的所有大小？
• RQ5 结合圆锥曲线初始化的随机贪心算法在发现小型完整圆弧方面有多高效？

主要发现

• 当 $q \leq 2593$ 且 $q = 2693, 2753$ 时，有 $t_2(2,q) < 4.5\sqrt{q}$，优于先前的界。
• 当 $q \leq 4561$ 时，已确立 $t_2(2,q) < 4.75\sqrt{q}$，扩展了已知结果。
• 当 $23 \leq q \leq 4561$ 且 $q \in T_2 \cup \{2^{14}, 2^{15}, 2^{18}\}$ 时，不等式 $t_2(2,q) < \sqrt{q} \ln^{0.75}q$ 已被证明。
• 作者推测，基于大量计算证据，对所有 $q \geq 23$，有 $t_2(2,q) < \sqrt{q} \ln^{0.75}q$ 成立。
• 新构造方法可为所有 $k$ 在区间 $k_{\min} \leq k \leq k_{\max}$ 内生成完整 $k$-圆弧，其中 $k_{\min} \sim q/3$ 或 $q/4$，$k_{\max} \sim q/2$，且在 $q \leq 1367$ 和 $2003 \leq q \leq 2063$ 时已验证。
• 当 $169 \leq q \leq 349$ 且 $q = 1013, 2003$ 时，通过组合构造与贪心搜索，确认从 $\overline{t}_2(2,q)$ 到 $M_q$ 的所有大小均存在完整 $k$-圆弧。