[论文解读] On Skorohod spaces as universal sample path spaces

Oliver Delzeith|ArXiv.org|Dec 6, 2004

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文建立了一项分解定理，表明任何取值于完备可分度量空间的、适应于另一 RCLL 过程的滤子的 RCLL 随机过程，均可表示为 Skorohod 空间 $D_E[0,\infty)$ 上的可测函数，该空间作为通用样本路径空间。关键结果是，此类过程在分解下继承路径性质（如连续性、单调性或有界变差），从而可通过标准 Borel 空间技术在随机控制与条件期望问题中实现简化。

ABSTRACT

The paper presents a factorization theorem for a certain class of stochastic processes. Skorohod spaces carry the rich structure of standard Borel spaces and appear to be suitable universal sample path spaces. We show that, if $ξ$ is a RCLL stochastic process with values in a complete separable metric space $E$, any other RCLL stochastic process $X$ adapted to the filtration induced by $ξ$ factors through the Skorohod space $D_E[0,\infty)$. This can be understood as an extension of a stochastic process to a standard Borel space enjoying nice properties. Moreover, the trajectories of the factorized stochastic process defined on $D_E[0,\infty)$ inherit the properties of being continuous, non-decreasing, and of bounded variation, resp., from those of $X$. Considering situations which are invariant under the factorization procedure, the main theorem is a reduction tool to assume the underlying measurable space be a standard Borel space. In an example, we pick the existence theorem of regular conditional probabilities on standard Borel spaces to simplify a conditional expectation appearing in stochastic control problems.

研究动机与目标

• 建立一个通用框架，使用 Skorohod 空间作为样本路径空间，对具有 càdlàg 样本路径的随机过程进行建模。
• 证明任何适应于另一 RCLL 过程滤子的 RCLL 过程均可通过 Skorohod 空间 $D_E[0,\infty)$ 分解，且保持路径性质。
• 通过假设底层概率空间为标准 Borel 空间，为随机控制与条件期望问题提供一种约化工具。
• 通过利用 Skorohod 空间的通用结构，拓展了在随机模型中正则条件概率的应用范围。

提出的方法

• 本文利用 Doob-Dynkin 引理与标准 Borel 空间的结构，将适应的 RCLL 过程通过 Skorohod 空间 $D_E[0,\infty)$ 进行分解。
• 定义了一个通用映射 $\widetilde{\xi}: \Omega \to D_E[0,\infty)$，将驱动过程 $\xi$ 的样本路径映射到 Skorohod 空间，同时保持滤子结构。
• 构造的分解满足 $X(t,\omega) = X^*(t, \widetilde{\xi}(\omega))$，确保 $X^*$ 在 $D_E[0,\infty)$ 上关于 $\mathbb{F}^{(E)}$ 适应。
• 该方法可扩展至取值于连续、非减或有界变差函数类的样本路径过程，且在分解后的过程 $X^*$ 中保持这些性质。
• 证明依赖于标准 Borel 空间上正则条件概率的存在性，从而可在随机控制问题中简化条件期望的计算。
• 该框架被应用于 SDE 的路径式解，表明条件期望仅通过 $D_E[0,\infty)$ 上的分解过程依赖于初始值。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何适应于另一 RCLL 过程滤子的 RCLL 过程是否可表示为 Skorohod 空间 $D_E[0,\infty)$ 上的可测函数？
• RQ2 该分解是否保持样本路径的路径性质，如连续性、单调性或有界变差？
• RQ3 Skorohod 空间的通用结构是否可用于将一般随机模型约化为标准 Borel 空间，从而简化条件期望的计算？
• RQ4 分解定理如何促进在随机控制问题中应用正则条件概率？

主要发现

• 任何取值于可分度量空间 $E'$ 的 $\mathbb{F}^\xi$-适应 RCLL 过程 $X$ 均可通过 $X(t,\omega) = X^*(t, \widetilde{\xi}(\omega))$ 分解至 Skorohod 空间 $D_E[0,\infty)$，其中 $X^*$ 在 $D_E[0,\infty)$ 上关于 $\mathbb{F}^{(E)}$ 适应。
• 若 $X$ 的样本路径属于连续、非减或有界变差类，则其分解过程 $X^*$ 会继承这些路径性质。
• 标准 Borel 空间上正则条件概率的存在性，使得在随机控制中可简化条件期望的计算，如在具有随机初始值的路径式 SDE 解中所示。
• 条件数学期望 $\mathbb{E}^P[f(Y_t^{(Z)})|\mathcal{F}_{t_0}^\xi]$ 等于 $\mathbb{E}^P[f(Y_t^{(z)})|\mathcal{F}_{t_0}^\xi]\big|_{z=Z}$，该结论通过将问题约化至 Skorohod 空间并利用分解的通用性质得以证明。
• 该框架允许将底层概率空间无损地假设为标准 Borel 空间，从而简化随机分析中的证明。