[论文解读] On smoothness of isometries between orbit spaces

Marcos M. Alexandrino, Alexander Lytchak|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文研究了等距群作用轨道空间之间的等距是否必然为微分同胚，证明当局部几何由紧致群表示所刻画时，该结论成立。关键结果表明：若等距保持不变多项式，则表示商之间的等距是光滑的，并将此结果应用于证明无穷小极性叶状结构的Molino猜想。

ABSTRACT

We discuss the connection between the smooth and metric structure on quotient spaces, prove smoothness of isometries in special cases and discuss an application to a conjecture of Molino.

研究动机与目标

• 确定商空间的度量结构是否决定其光滑结构，特别是轨道空间之间的等距是否必然为微分同胚。
• 探讨奇异黎曼叶状结构与轨道空间中度量与光滑结构之间的相互作用。
• 通过将问题约化为群表示的研究，提供等距光滑性的几何准则。
• 将结果应用于Molino关于奇异黎曼叶状结构的闭包仍是奇异黎曼叶状结构的猜想。
• 将经典结果如Myers-Steenrod定理和Chevalley的限制定理推广至奇异商与叶状结构的设定。

提出的方法

• 利用切片定理与指数映射，将等距光滑性的全局问题约化为表示的局部模型。
• 利用光滑 $G$-不变函数在表示空间 $V$ 上是不变多项式的光滑函数这一事实，这是由Schwarz定理所保证的。
• 证明：若一个等距保持生成光滑结构的不变多项式，则其在表示的商 $V/G$ 与 $W/H$ 之间是微分同胚。
• 使用几何解析技术将奇异叶状结构替换为正则叶状结构，从而可应用关于基本形式与Killing向量场的已知结果。
• 利用基本1-形式与水平向量场之间的对偶性，将光滑结构从解析空间回传至原始轨道空间。
• 运用基本形式与正交系统理论，证明无穷小极性叶状结构的闭包是奇异黎曼叶状结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 商空间 $M/G$ 上的度量是否决定其光滑结构，即所有此类商之间的等距是否都是微分同胚？
• RQ2 能否通过分析等距在不变多项式上的作用，证明紧致群表示轨道空间之间等距的光滑性？
• RQ3 沿测地线具有多项式增长的函数在多大程度上刻画了亚历山大洛夫空间的度量与光滑结构？
• RQ4 在完备黎曼流形上，奇异黎曼叶状结构的闭包是否构成奇异黎曼叶状结构，正如Molino所猜想的那样？
• RQ5 能否通过几何解析映射，特别是无穷小极性叶状结构的情形，从解析空间将商空间的光滑结构提升回来？

主要发现

• 紧致群表示轨道空间 $V/G$ 与 $W/H$ 之间的等距是微分同胚，当且仅当其保持生成的不变多项式。
• 商空间 $M/G$ 上的光滑结构由 $M$ 上的 $G$-不变光滑函数决定，且当作用为极性时，该结构与度量相容。
• Molino猜想——即奇异黎曼叶状结构的闭包本身是奇异黎曼叶状结构——对无穷小极性叶状结构成立。
• 几何解析 $F: ilde{M} \to M$ 在 $M$ 与 $\tilde{M}$ 的基本形式层之间诱导一个双射，从而实现光滑结构的传递。
• 光滑水平向量场可作为从解析中提升的基本1-形式的对偶构造，这些向量场生成叶状结构的闭包。
• 对于无穷小极性叶状结构，闭包中的水平向量场由其在极小层上的限制唯一确定，从而证实了Molino理论的关键预测。