[论文解读] On Soergel bimodules

Noriyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 10

一句话总结

本文提供了Elias-Williamson的Soergel双模范畴的双模理论构造，证明即使在表示不满足反射忠实性时，该范畴也与原始的Soergel双模范畴等价。通过基于带有权空间分解的分次双模的新、更内在的定义，重新证明了范畴化定理，利用图解与同调方法建立了双叶基与全忠实性。

ABSTRACT

For a Coxeter system and a representation $V$ of this Coxeter system, Soergel defined a category which is now called the category of Soergel bimodules and proved that this gives a categorification of the Hecke algebra when $V$ is reflection faithful. Elias and Williamson defined another category even when $V$ is not reflection faithful and they proved that this category is equivalent to the category of Soergel bimodules when $V$ is reflection faithful. Moreover they proved the categorification theorem for their category with less assumptions on $V$. In this paper, we give a "bimodule theoretic" definition of the category of Elias-Williamson and reprove the categorification theorem.

研究动机与目标

• 提供Elias-Williamson范畴的双模理论定义，避免使用图解生成元与关系。
• 在表示 $V$ 的假设更弱的条件下，重新证明Elias-Williamson范畴的范畴化定理。
• 当 $V$ 是反射忠实时，建立新双模范畴与原始Soergel双模范畴之间的等价性。
• 通过双叶基证明Elias-Williamson范畴与新双模范畴的Karoubi闭包等价。
• 利用带有权分解的分次 $R$-双模，为Elias-Williamson的图解范畴提供一个概念性的、表示论基础。

提出的方法

• 定义一类分次 $R$-双模 $M$，使得 $M \otimes_R Q = \bigoplus_{w \in W} M_Q^w$，且对 $f \in R$，$m \in M_Q^w$，有 $f \cdot m = w(f) \cdot m$，并要求同态保持此分解。
• 将范畴构造为分次 $R$-双模的全子范畴，其对象是张量积 $R \otimes_{R^{s_1}} \cdots \otimes_{R^{s_l}} R(n)$ 的直和项。
• 利用权空间分解，为Elias-Williamson范畴定义一种新的、内在的双模理论模型。
• 证明双叶集 $\mathbb{LL}_{\mathbf{e},\mathbf{f}}$ 构成新范畴中态射空间的基。
• 通过基比较，建立从Elias-Williamson图解范畴到新双模范畴的函子的全忠实性与本质满射性。
• 利用两个范畴的同态空间具有相同的分次秩且共享双叶基的事实，证明其等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Elias-Williamson范畴能否仅通过双模理论数据定义，而无需图解生成元与关系？
• RQ2 当 $V$ 不满足反射忠实性时，Hecke代数的范畴化定理在新双模理论范畴中是否仍然成立？
• RQ3 当 $V$ 是反射忠实时，Elias-Williamson范畴是否与Soergel双模范畴等价？
• RQ4 新范畴中的双叶是否构成态射空间的基，且与图解基一致？
• RQ5 能否通过基比较证明从图解范畴到双模范畴的函子是全忠实的？

主要发现

• 新双模范畴与Elias-Williamson范畴等价，为他们的图解构造提供了双模理论基础。
• Elias-Williamson范畴与新双模范畴的Karoubi闭包等价，确认了其对Hecke代数的范畴化。
• 双叶集 $\mathbb{LL}_{\mathbf{e},\mathbf{f}}$ 构成 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{BS}}(B_{\underline{x}}, B_{\underline{y}})$ 的基，与 [EW16] 中的图解基一致。
• 从Elias-Williamson图解范畴到新双模范畴的函子是全忠实且本质满射的，因此构成范畴等价。
• 新范畴的范畴化定理成立：其分裂Grothendieck群同构于 $(W,S)$ 的Hecke代数。
• 证明依赖于权空间分解的相容性与双叶结构，线性无关性通过最大长度元素的归纳法建立。