[论文解读] On sofic approximations of Property (T) groups

Gábor Kun|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文证明了鲍文猜想：对于可数无限的卡兹丹性质(T)群，其每个Sofic逼近本质上是通过马尔可夫算子和切赫常数表征的顶点不相交的弥散图并集。关键结果表明，此类逼近必须表现出强烈的谱特性和扩张性质，将Soficity与性质(T)群的弥散图结构联系起来。

ABSTRACT

We prove Bowen's conjecture that every sequence of finite graphs that locally converges to the Cayley graph of a countably infinite group with Kazhdan Property (T) is essentially a vertex-disjoint union of expander graphs. We characterize graph sequences that are essentially a vertex-disjoint union of expander graphs in terms of the Markov operator.

研究动机与目标

• 解决鲍文关于卡兹丹性质(T)群Sofic逼近结构的猜想。
• 通过谱和几何性质表征本质上为不相交弥散图并集的图序列。
• 建立性质(T)群Sofic逼近与有限图上马尔可夫算子行为之间的联系。
• 通过涉及马尔可夫算子与$L_2$/$L_∞$范数的不等式，提供此类图序列的谱表征。
• 将结果应用于复形的非超有限性及粗嵌入问题，回答几何群论与图论中的开放问题。

提出的方法

• 证明图序列本质上为不相交弥散图并集的四种表征之间的等价性：通过马尔可夫算子不等式、大集合上的等周条件、基于划分的扩张，以及与弥散图并集的图对称差。
• 利用$d$-正则图上的马尔可夫算子$M_n$定义谱条件，该条件蕴含扩张性及各连通分量间的一致扩张性。
• 采用“本质上”不相交并集的概念，即边集对称差在顶点数上为次线性，以定义鲁棒逼近。
• 运用概率与谱技术，包括在$ℤ_p$中的随机边加权和测度集中性，推导非扩张情形下的矛盾。
• 利用性质(T)群具有正卡兹丹常数的事实，强化马尔可夫算子不等式中的谱间隙。
• 通过随机游走和$ℤ_p$中的环路和的反证法，证明非超有限复形无法支持某些逼近，从而得出主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将性质(T)群的Sofic逼近表征为本质上不相交的弥散图并集？
• RQ2 有限图的哪些谱或几何条件可推出其本质上为不相交弥散图并集？
• RQ3 在$d$-正则图上，马尔可夫算子如何反映底层图序列的扩张与不相交结构？
• RQ4 能否利用谱间隙与卡兹丹常数对卡兹丹群的Sofic逼近结构进行更精细刻画？
• RQ5 该表征对大围长图中复形的非超有限性及粗嵌入问题有何影响？

主要发现

• 每个可数无限性质(T)群的Sofic逼近本质上是$d$-正则弥散图的顶点不相交并集，其切赫常数有正下界$\gamma>0$。
• 对于$d$-正则图序列，四种表征（马尔可夫算子不等式、等周条件、基于划分的扩张、与弥散图并集的对称差）之间等价。
• 对于卡兹丹群的Sofic逼近，马尔可夫算子不等式中的谱间隙$\varepsilon$可取为卡兹丹常数，从而强化结果。
• 等周条件中的例外集$B_n$与划分条件中的$P_n^0$可包含在Sofic逼近的误差集中。
• 结果表明，任何局部收敛于有限表示性质(T)群Cayley复形的二维复形序列均非$1$-超有限。
• 本文给出了Mendel与Naor关于大围长图中粗嵌入结果的新证明，并回答了L. M. Lovász关于Lipschitz嵌入的一个问题。