[论文解读] On Soft Connectedness

E. Peyghan, Babak Samadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 6被引用 13

一句话总结

本文引入并研究了软拓扑空间中的软连通性与软局部连通性概念，建立了类似于经典一般拓扑学的基础结果。证明了软拓扑空间是软连通的，当且仅当唯一既是软开集又是软闭集的软集是零集与全集，且表明软连通性在软连续满射及软积空间中保持不变。

ABSTRACT

The soft topological spaces and some their related concepts have stud- ied in [7]. In this paper, we introduce and study the notions of soft connected topological spaces after a review of preliminary definitions.

研究动机与目标

• 正式化并研究软拓扑空间中软连通性的概念，将经典拓扑学概念扩展至软设定。
• 定义并分析软局部连通与弱局部连通空间，建立其与连通分支之间的关系。
• 研究软连通性在软连续映射及软积空间中的行为。
• 通过非平凡软开闭集的缺失来刻画软连通性，与经典拓扑学相呼应。
• 将软连通分支定义为自然关系下的等价类，并证明其结构性质。

提出的方法

• 通过软分离的缺失来引入软连通性——即一对非零软开集，其并为全集且交为空集。
• 将软连通分支定义为关系 $ x \sim y $ 下的等价类，其中存在一个包含 $ x $ 和 $ y $ 的软连通子空间。
• 建立一个刻画：软空间是软连通的，当且仅当唯一既是软开集又是软闭集的软集是 $ \Phi_E $ 和 $ \widetilde{X} $。
• 使用软连续函数 $ f_{pu} $ 传递连通性性质，证明软连通空间在软连续满射下的像也是软连通的。
• 应用软积空间的概念，证明当因子共享一个公共点时，软连通空间的积是软连通的。
• 通过任意点的软开邻域内存在软连通软开邻域，来引入软局部连通空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在软拓扑空间中，软连通性的适当定义是什么？它与经典连通性有何关系？
• RQ2 软连续函数如何影响软连通性？软连通性在这些映射下是否保持不变？
• RQ3 软连通分支的结构是怎样的？它们与软开集和软闭集有何关联？
• RQ4 软拓扑空间软局部连通的条件是什么？这与软开子集中分支的开性有何关系？
• RQ5 软连通性在软积空间中如何表现，特别是当子空间非平凡相交时？

主要发现

• 软拓扑空间 $ (X,\tau,E) $ 是软连通的，当且仅当唯一既是软开集又是软闭集的软集是 $ \Phi_E $ 和 $ \widetilde{X} $，这提供了与经典拓扑学类似的刻画。
• 软连通性在软连续满射下保持不变：若 $ f_{pu} $ 是从软连通空间 $ (U,\tau,A) $ 到 $ (V,\tau',B) $ 的软连续满射，则其陪域 $ (V,\tau',B) $ 也是软连通的。
• 当因子共享一个公共点时，软积空间 $ (U \times V, \tau, A \times B) $ 是软连通的，因为它们的并形成一个软连通子空间。
• 软连通分支两两不相交，是软连通的，且其并为整个全集 $ \widetilde{X} $，每个软连通子空间完全包含于一个分支中。
• 软拓扑空间是软局部连通的，当且仅当对每个软开集 $ (Y,E) $，$ (Y,\tau_Y,E) $ 的每个软连通分支在 $ X $ 中都是软开的。
• 软弱局部连通性蕴含软局部连通性，确立了这两个概念之间的层级关系。