[论文解读] On Solutions of Three Quasi-Geostrophic Models

Jiahong Wu|ArXiv.org|Dec 10, 2000

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了两种正则化准地转模型的全局正则性：一种是带有分数阶拉普拉斯耗散的模型（$\alpha \geq \frac{1}{2}$），另一种是带有时间分数阶正则化的模型。该研究将翁萨格猜想推广至弱解，并证明时间正则化模型（1.3）在临界情形 $\alpha = \frac{1}{2}$ 下，相较于标准模型（1.2）具有更强的鲁棒性，尤其因对全局光滑性的假设更弱而更具优势。

ABSTRACT

We consider the 2D quasi-geostrophic model and its two different regularizations. Global regularity results are established for the regularized models with subcritical or critical indices. The proof of Onsager's conjecture concerning weak solutions of the 3D Euler equations and the notion of dissipative solutions of Duchon and Robert are extended to weak solutions of the quasi-geostrophic equation.

研究动机与目标

• 解决具有临界（$\alpha = \frac{1}{2}$）或次临界（$\alpha > \frac{1}{2}$）耗散的准地转方程的全局正则性问题。
• 将翁萨格关于能量守恒的猜想推广至准地转方程的弱解。
• 提出并分析一种新的时间正则化准地转模型（1.3），作为标准模型（1.2）的更稳定替代方案。
• 建立时间正则化模型（1.3）在 $\mu \to 0$ 时收敛于原始模型（1.1）的性质，验证其物理合理性。
• 证明准地转方程在杜尚与罗伯特意义下的耗散弱解的存在性。

提出的方法

• 针对时间正则化模型（1.3）在 $H^s$ 空间中构造局部解（$s > 1$），并推导出所有导数的显式界。
• 对（1.3）与（1.1）解之间的差分方程的能量估计应用格朗沃尔不等式，使用 $L^2$ 和 $H^\alpha$ 范数。
• 利用瑞斯变换表示 $u = (-\mathcal{R}_2\theta, \mathcal{R}_1\theta)$ 将速度与位温 $\theta$ 关联。
• 在正则化项中使用分数阶拉普拉斯 $\Lambda^{2\alpha} = (-\Delta)^\alpha$ 以控制非线性项。
• 在能量估计中应用微积分不等式（2.5）以控制涉及 $\Lambda^{2\alpha+1}(u\theta)$ 的非线性项。
• 利用傅里叶分析和 $L^p$-范数估计，控制 $\mu \to 0$ 时在 $L^2$ 和 $H^\alpha$ 中的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱于以往所需假设的条件下，是否可为 $\alpha = \frac{1}{2}$ 的准地转方程建立全局正则性？
• RQ2 翁萨格关于能量守恒的猜想是否适用于霍尔德空间中准地转方程的弱解？
• RQ3 时间正则化模型（1.3）是否为标准模型（1.2）的有效替代，特别是在临界情形下？
• RQ4 当 $\mu \to 0$ 时，时间正则化模型（1.3）的解向原始模型（1.1）的收敛速率如何？
• RQ5 如杜尚与罗伯特所定义，准地转方程是否存在耗散弱解？

主要发现

• 对于时间正则化模型（1.3），在 $\alpha \geq \frac{1}{2}$ 条件下建立了全局光滑性，即使在临界情形 $\alpha = \frac{1}{2}$ 下，其假设也远弱于标准模型（1.2）的要求。
• 当 $\alpha > \frac{1}{2}$ 时，时间正则化模型（1.3）的解在所有时间均保持在 $H^s$ 中有界，从而防止有限时间爆破。
• 在 $\alpha = \frac{1}{2}$ 时，其全局正则性在弱于标准模型（1.2）所需假设的条件下被证明，表明其行为更优。
• 翁萨格猜想被推广至准地转方程：在 $C^\gamma$ 中满足 $\gamma > \frac{1}{3}$ 的弱解具有能量守恒性。
• 证明了准地转方程在杜尚与罗伯特意义下的耗散弱解的存在性，与该理论一致。
• 若初始数据以 $O(\mu^2)$ 速率收敛，则解（1.3）与（1.1）之间的差满足 $|\theta^\mu - \theta|_{2}^{2} + \mu\|\theta^\mu - \theta\|_{\alpha}^{2} \leq C\mu^2$，且该不等式对所有时间一致成立，从而确认了当 $\mu \to 0$ 时的收敛性。