[论文解读] ON SOLUTIONS TO ROBUST MULTIOBJECTIVE OPTIMIZATION PROBLEMS THAT ARE OPTIMAL UNDER CONVEX SCALARIZATION

Rasmus Bokrantz, Albin Fredriksson|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2013

Risk and Portfolio Optimization参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了凸包有效集——一种在不确定性下多目标优化的更强形式的鲁棒有效性——表明其可通过严格递增、凸的标量化方法被完全表征和计算。关键贡献在于建立了一个理论框架，将凸标量化与鲁棒有效性联系起来，特别是在具有凸模糊集的分布鲁棒设置下。

ABSTRACT

We consider multiobjective optimization problems with objectives that depend on a random parameter. Optimality to such problems is understood using the notion of robust efficiency. Unfortunately, no convex optimization method is known that can find all robust efficient solutions, even for convex problems. In this paper, we propose a more restrictive concept of efficiency than robust efficiency, and call the subset of robust efficient solutions th at satisfy our definition the convex hull efficientset. We characterize this set by necessary and sufficient conditions that parallel classical theorems on effi ciency for deterministic problems. Specifically, we show that all convex hull efficient solutions can be found by strictly increasing and convex scalarization, and that strongly increasing and convex scalarization always yields convex hull efficient solutions. We also extend robust efficiency to distributionally robust problems, where the expectation of the objectives is optimized conditioned on the worst distribution from some ambiguity set of possible probability distributions. The convex hull efficient set is shown to coincide with the robust efficient set i f the ambiguity set is convex. The relationship between nonlinearity of the scalarizing function and conservatism of the solution is demonstrated with respect to a numerical example inspired by radiation therapy treatment planning.

研究动机与目标

• 为解决在不确定多目标问题中寻找所有鲁棒有效解的凸优化方法缺失问题。
• 定义一种更严格但计算上可行的有效性概念——凸包有效性——以确保所有解均可通过标量化方法找到。
• 将鲁棒有效性扩展至分布鲁棒问题，其中在模糊集中的最坏情况分布下优化期望值。
• 建立凸包有效集与鲁棒有效集一致的条件，特别是在模糊集为凸集时。

提出的方法

• 通过施加比鲁棒有效性更严格的条件，提出一种新的有效性概念——凸包有效性。
• 利用类似于经典确定性有效性定理的必要与充分条件，表征凸包有效解。
• 采用严格递增且凸的标量化函数，以生成所有凸包有效解。
• 应用严格递增且凸的标量化方法，以保证收敛至凸包有效解集。
• 通过基于凸模糊集中的最坏情况分布进行条件处理，将该框架扩展至分布鲁棒优化。
• 通过数值示例，特别是放射治疗计划中的应用，展示标量化非线性与解的保守性之间的权衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以定义一种更严格形式的鲁棒有效性，使得所有解均可通过凸标量化系统性地生成？
• RQ2 在分布鲁棒问题中，凸包有效集在何种条件下与鲁棒有效集一致？
• RQ3 标量化函数的非线性如何影响所得解的保守性？
• RQ4 在具有随机参数的多目标问题中，凸标量化与鲁棒有效性之间存在何种关系？
• RQ5 凸优化方法能否有效应用于在不确定多目标问题中寻找所有鲁棒有效解？

主要发现

• 所有凸包有效解均可通过严格递增且凸的标量化方法找到，从而建立了一套完整的求解方法。
• 严格递增且凸的标量化方法始终产生凸包有效解，确保收敛至目标集合。
• 当模糊集为凸集时，凸包有效集与鲁棒有效集等价，验证了该方法在分布不确定性下的有效性。
• 标量化函数的非线性程度越高，解的保守性越强，这一结论在放射治疗计划示例中得到验证。
• 所提出的框架为通过凸优化计算鲁棒有效解提供了理论基础，克服了现有方法的局限性。