[论文解读] On solvability of nonlinear partial differential systems of any order in the complex plane

Yifei Pan|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文建立了关于单复变函数中任意阶非线性偏微分方程组的一般存在性定理，扩展了关于 J-全纯曲线的 Nijenhuis-Woolf 定理。证明了以 m-拉普拉斯算子为主部的方程组的局部与整体可解性，表明在原点处任意阶数不超过 2m−1 的 jet 数据及阶数为 2m 的零点条件下解存在，并将结果应用于调和映射与复分析。

ABSTRACT

We prove a general existence theorem for nonlinear partial differential systems of any order in one complex variable. A special case of first order contains a well-known theorem of Nijenhuis and Woolf concerning local existence of J-holomorphic curves on almost complex manifolds. As an application to differential geometry, we prove that non constant harmonic map always exists locally from a Riemann surface to a Riemannian manifold with a prescribed tangent vector at a given point.

研究动机与目标

• 建立关于单复变函数中任意阶非线性偏微分方程组的一般存在性定理。
• 将关于 J-全纯曲线的经典 Nijenhuis-Woolf 定理推广至高阶系统。
• 证明 m-拉普拉斯系统在给定至 2m−1 阶 jet 数据下的局部可解性。
• 建立在原点处 2m 阶 jet 数据为零的自治 m-拉普拉斯系统之整体可解性。
• 将结果应用于微分几何，证明从黎曼曲面到黎曼流形的非平凡调和映射在给定初始数据下的局部存在性。

提出的方法

• 使用复分析与柯西-黎曼算子框架，分析单复变函数中涉及高阶导数的系统。
• 采用基于幂级数展开与 jet 数据的构造性方法，求解主部为 m-拉普拉斯算子的系统。
• 利用复导数 ∂ = ½(∂x − i∂y) 与 ̄∂ = ½(∂x + i∂y)，将高阶偏导数表示为 ∂ 与 ̄∂ 算子的组合。
• 通过递归技术控制原点附近至 2m−1 阶的 jet 数据，求解系统。
• 利用唯一延拓性质，确保解在 jet 阶数范围内唯一，尽管一般情况下解不唯一。
• 将该方法应用于 ∂̄^m f = F 系统，证明在原点附近存在 C^{m+k} 解，且满足给定的初始 jet 条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为单复变函数中任意阶非线性 PDE 方程组建立一般存在性定理？
• RQ2 关于一阶 J-全纯曲线的 Nijenhuis-Woolf 定理在多大程度上可推广至高阶系统？
• RQ3 在何种条件下，m-拉普拉斯算子 Δ^m 允许对任意 2m−1 阶 jet 数据存在局部解？
• RQ4 能否为在原点处 2m 阶 jet 数据为零的自治 m-拉普拉斯系统构造全局解？
• RQ5 由 PDE 可解性结果是否可推出从黎曼曲面到黎曼流形的局部调和映射在给定初始值下的存在性？

主要发现

• 定理 A 建立了 m-拉普拉斯系统 Δ^m u = A(z, u, ∇u, ..., ∇^{2m−1}u) 的局部可解性，其中 A 为 C^k 函数，解属于 C^{2m+k} 类，在小圆盘 |z| ≤ R 内存在。
• 解在原点附近满足 u = p(z) + O(|z|^{2m})，其中 p(z) 为次数不超过 2m−1 的多项式。
• 定理 B 证明了自治 m-拉普拉斯系统 Δ^m u = A(u, ∇u, ..., ∇^{2m}u) 的全局解存在性，其中 A(0) = 0 且 ∇A(0) = 0，且在原点处阶数为 2m 的零点。
• 定理 A 中的半径 R 不能任意大，反例如 Δu = e^{2u} 无全局解可说明这一点。
• 定理 C 证明了从 z₀ ∈ S 的邻域到 C^3 黎曼流形 N 的 C^2 调和映射 φ 存在，满足 φ(z₀) = p 且 dφ(z₀)(∂/∂x) = v。
• 该方法适用于 m-调和映射与双调和映射，并可通过局部调和映射在黎曼流形的切丛上定义 Kobayashi 度量。