[论文解读] On Some Algebraic Properties of Generalized Groups

J. O. Adéníran, J. T. Akinmoyewa+2 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2009

Mathematics and Applications参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文研究了广义群——一种具有元素特定单位元和逆元的非结合代数结构——的代数性质，扩展了经典群论的结果。证明了诸如逆元对合性、同态核和商群等关键群性质在广义群中依然成立，并从具有阿贝尔子群的非阿贝尔广义群构造出Bol群oids和拟群，建立了广义群与非结合环论之间全新的联系。

ABSTRACT

Some results that are true in classical groups are investigated in generalized groups and are shown to be either generally true in generalized groups or true in some special types of generalized groups. Also, it is shown that a Bol groupoid and a Bol quasigroup can be constructed using a non-abelian generalized group.

研究动机与目标

• 确定哪些经典群性质可推广至广义群，即一种具有元素特定单位元和逆元的非结合代数结构。
• 研究广义群是否可作为构建非结合代数系统（如Bol环和拟群）的基础。
• 建立广义群同构于阿贝尔广义子群直积的必要与充分条件。
• 探讨消去律与正规性在同态与商化过程中保持结构性质的作用。

提出的方法

• 使用广义群的定义，其中每个元素有特定的单位元 $e(x)$ 和逆元 $x^{-1}$，满足 $xx^{-1} = x^{-1}x = e(x)$，且乘法满足结合律。
• 应用同态理论：定义 $f: G \to H$ 满足 $f(ab) = f(a)f(b)$，并证明核的性质及像在子群公理下的封闭性。
• 为广义子群 $H$ 构造商集 $G/H$，通过陪集乘法证明其继承广义群公理。
• 在 $A = H \times G$ 上定义二元运算 $(h_1,g_1) \circ (h_2,g_2) = (h_1h_2, h_2g_1h_2^{-1}g_2)$，以形成Bol群oid。
• 验证Bol恒等式 $((x\circ y)\circ z)\circ y = x\circ((y\circ z)\circ y)$ 以确认Bol结构。
• 应用消去律与阿贝尔子群条件，证明所构造的结构成为一个具有左单位元的Bol拟群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义群中，哪些经典群性质（如 $(a^{-1})^{-1} = a$ 和反自同态逆性质）成立？
• RQ2 在何种条件下，广义群同构于两个阿贝尔广义子群的直积？
• RQ3 能否从非阿贝尔广义群构造出如Bol环或拟群之类的非结合代数结构？
• RQ4 广义群中的同态与核与经典群中的同态与核有何异同？
• RQ5 消去律在将Bol群oid转化为Bol拟群的过程中起什么作用？

主要发现

• 在任意广义群 $G$ 中，对所有 $a \in G$，有 $(a^{-1})^{-1} = a$，这扩展了群论中的基本性质。
• 在正规广义群 $G$ 中，反自同态逆性质 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ 成立，当且仅当当 $ab^{-1} = a$ 时，有 $e(ab^{-1}) = e(a)$。
• 若满足 $e(a) = e(ab^{-1})$ 当且仅当 $ab^{-1} = a$，则广义群 $G$ 是幂等的，当且仅当对所有 $a \in G$，有 $e(a) = a$。
• 对于广义群 $G$ 的广义子群 $H$，其商集 $G/H$ 在陪集乘法下本身构成一个广义群。
• 两个广义群的直积 $G \times H$ 在分量乘法下也构成一个广义群。
• 若 $G$ 是一个非阿贝尔广义群，且具有一个阿贝尔广义子群 $H$，并满足消去律，则在运算 $(h_1,g_1) \circ (h_2,g_2) = (h_1h_2, h_2g_1h_2^{-1}g_2)$ 下，$A = H \times G$ 构成一个具有左单位元的Bol拟群。