[论文解读] On some arithmetic properties of automorphic forms of GL(m) over a division algebra

Harald Grobner, A. Raghuram|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文将数域 $F$ 上除法代数 $D$ 上 $GL_m$ 上自守形式的算术性质推广至 $GL_n$ 的内形，扩展了 Clozel、Shimura 和 Waldspurger 的结果。证明了 $G' = GL_m/D$ 上的正则代数自守表示由上同调与本质上温和的阿基米德局部分量所刻画，并证明全局 Jacquet-Langlands 转移保持有理性和上同调性质，且在尖形式假设下建立了代数表示的纯度引理。

ABSTRACT

In this paper we investigate arithmetic properties of automorphic forms on the group G' = GL_m/D, for a central division-algebra D over an arbitrary number field F. The results of this article are generalizations of results in the split case, i.e., D=F, by Shimura, Harder, Waldspurger and Clozel for square-integrable automorphic forms and also by Franke and Franke-Schwermer for general automorphic representations. We also compare our theorems on automorphic forms of the group G' to statements on automorphic forms of its split form using the global Jacquet-Langlands correspondence developed by Badulescu and Badulescu-Renard. Beside that we prove that the local version of the Jacquet-Langlands transfer at an archimedean place preserves the property of being cohomological.

研究动机与目标

• 将正则代数与上同调自守表示的理论从分裂 $GL_n$ 推广至除法代数 $D$ 上的内形 $GL_m/D$。
• 通过全局 Jacquet-Langlands 对应，将 Clozel 的正则代数表示概念推广至非分裂群。
• 研究自守上同调、有理性域与 $\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$ 作用于 $G'$ 上自守表示之间的相互作用。
• 证明局部 Jacquet-Langlands 转移在阿基米德位置保持上同调性质。
• 建立 $G'$ 上正则代数表示的有限阿代尔分量的有理性域等于其 Jacquet-Langlands 转移的有理性域。

提出的方法

• 通过全局 Jacquet-Langlands 转移至分裂群 $G = GL_n/F$（$n=dm$）的拉回，定义 $G' = GL_m/D$ 上的代数与正则代数自守表示。
• 利用全局 Jacquet-Langlands 对应（Badulescu，Badulescu-Renard）将 $G'$ 上的离散系列表示与 $G$ 上的表示关联，实现算术性质的传递。
• 通过扭曲表示 $^\sigma\nu = \nu \otimes_\sigma \mathbb{C}$ 分析 $\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$ 对上同调自守表示及其有理性域的作用。
• 通过分析无穷小特征与 Langlands 参数，证明在阿基米德位置的局部 Jacquet-Langlands 转移保持上同调性质。
• 利用 Hecke 代数与自守向量的 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$-张成空间，在自守上同调空间上构造有理结构，证明 $V_{\Pi^\prime_f} \otimes_{\mathbb{Q}(\Pi^\prime)} \mathbb{C} \cong \Pi^\prime_f$。
• 在尖形式与正则性假设下，利用强乘法唯一性与无穷小特征比较，证明 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime_f) = \mathbb{Q}(JL(\Pi^\prime)_f)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$GL_m/D$ 上的离散系列自守表示是正则代数的？其与阿基米德位置上同调性与本质温和性的关系为何？
• RQ2 全局 Jacquet-Langlands 转移是否保持自守表示的上同调性质，特别是在阿基米德位置？
• RQ3 自守表示在 $G' = GL_m/D$ 上的有理性域如何与在分裂群 $G = GL_n/F$ 上的有理性域相关？
• RQ4 代数表示的纯度引理由分裂情形能否推广至 $GL_n$ 的内形？
• RQ5 正则代数表示 $\Pi^\prime$ 在 $G'$ 上的有限阿代尔分量 $\Pi^\prime_f$ 的有理性域是否等于其 Jacquet-Langlands 转移的有理性域？

主要发现

• 若 $JL(\Pi^\prime)$ 为尖形式，则 $G' = GL_m/D$ 上的离散系列自守表示 $\Pi^\prime$ 是正则代数的，当且仅当其阿基米德分量 $\Pi^\prime_\infty$ 为上同调且本质上温和。
• 对 $G'$ 的纯度引理成立：若 $\Pi^\prime$ 为代数表示且 $JL(\Pi^\prime)$ 为尖形式，则与 $JL(\Pi^\prime)_v|\cdot|_v^{(1-n)/2}$ 关联的 $\mathbb{C}^*$ 上的代数特征为 $z \mapsto z^p \overline{z}^q$ 的形式，其中 $p+q = w$ 对某个 $w \in \mathbb{Z}$ 成立；若无尖性则该性质不成立。
• 若 $JL(\Pi^\prime)$ 为尖形式，则正则代数表示 $\Pi^\prime$ 在 $G'$ 上的有限阿代尔分量的有理性域 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime_f)$ 等于 $\mathbb{Q}(JL(\Pi^\prime)_f)$。
• 在阿基米德位置，局部 Jacquet-Langlands 转移保持上同调性质：若 $\Pi^\prime_\infty$ 为上同调，则 $JL(\Pi^\prime)_\infty$ 亦为上同调。
• 自守上同调空间 $H^q_{!}(S_{G'}, \mathcal{E}_{\mathbb{Q}(\Pi^\prime)})[\epsilon]$ 具有有理结构，且 $G'(\mathbb{A}_f)$-轨道在向量上的 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$-张成空间生成一个格，其复化同构于 $\Pi^\prime_f$。
• 有理性域 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$ 为一个数域，$\Pi^\prime_f$ 定义在 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$ 上，且 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime_f) \supseteq \mathbb{Q}(E_\mu)$，其中 $E_\mu$ 为系数系统。