[论文解读] On Some Aspects of the Dynamics of a Ball in a Rotating Surface of Revolution and of the Kasamawashi Art

Francesco Fassò, Nicola Sansonetto|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文研究了一个重而均匀的球体在稳定旋转的旋转曲面上无滑动滚动时的非完整动力学，重点关注顶点附近的运动以及平衡点的稳定性。通过分析5维SO(3)约化系统，作者证明在顶点处不会发生爆破，并建立了渐近运动存在性及平衡点谱稳定性的条件，尤其与日本kasamawashi表演艺术密切相关。

ABSTRACT

We study some aspects of the dynamics of the nonholonomic system formed by a heavy homogeneous ball constrained to roll without sliding on a steadily rotating surface of revolution. First, in the case in which the figure axis of the surface is vertical (and hence the system is $ extrm{SO(3)} imes extrm{SO(2)}$-symmetric) and the surface has a (nondegenerate) maximum at its vertex, we show the existence of motions asymptotic to the vertex and rule out the possibility of blow up. This is done passing to the 5-dimensional $ extrm{SO(3)}$-reduced system. The $ extrm{SO(3)}$-symmetry persists when the figure axis of the surface is inclined with respect to the vertical -- and the system can be viewed as a simple model for the Japanese kasamawashi (turning umbrella) performance art -- and in that case we study the (stability of the) equilibria of the 5-dimensional reduced system.

研究动机与目标

• 分析球体在旋转曲面（尤其是4维约化系统在顶点处奇异）上的滚动动力学，特别是靠近顶点的区域。
• 解决关于在顶点处有限时间内爆破的可能性以及向顶点渐近运动存在的开放性问题。
• 研究当曲面轴线倾斜时，5维SO(3)约化系统中平衡点的稳定性，以模拟kasamawashi艺术。
• 通过表征非凸轮廓（包括锥形曲面）下平衡点的谱稳定性，为未来在顶点附近的非线性稳定性分析提供基础。

提出的方法

• 作者使用5维SO(3)约化系统，以避免在球体位于顶点时，4维SO(3)×SO(2)约化系统中相空间出现的奇异性。
• 他们使用广义速度分析动力学，推导出在倾斜曲面存在下的运动方程，相应地修改势能和非完整约束反力。
• SO(3)约化过程中保持了系统的对称性与守恒律（动能量、Routh不变量），从而支持稳定性分析。
• 通过借鉴[11]中的形式化方法，修改势能和反力项以考虑曲面倾角α，并确保在顶点处的光滑延拓。
• 通过分析平衡点附近的线性化系统，研究非凸轮廓（特别是锥形曲面）下平衡点的谱稳定性。
• 分析限制在5维约化空间内，以保持在顶点处的正则性，因为在4维约化中SO(2)作用在顶点处并非自由作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在旋转曲面（如旋转曲面）上滚动的球体是否可能在有限时间内以无限角速度到达顶点（即爆破是否可能发生）？
• RQ2 当曲面旋转且在顶点处具有最大值时，在5维SO(3)约化系统中是否存在渐近于顶点平衡点的轨迹？
• RQ3 当曲面轴线倾斜时，球体静止于顶点且具有任意垂直角速度的平衡点的谱稳定性如何？
• RQ4 这些平衡点的稳定性如何依赖于曲面的几何形状，特别是对于kasamawashi中使用的非凸轮廓（如圆锥）？
• RQ5 顶点附近的动力学能否被描述为几乎周期性？在该区域中，动能量起什么作用？

主要发现

• 本文证明，对于在顶点处具有非退化最大值的旋转曲面，顶点处的爆破是不可能的，从而确保即使球体接近顶点，动力学仍保持正则。
• 当曲面具有竖直轴且在顶点处具有非退化最大值时，5维SO(3)约化系统中存在向顶点渐近的运动。
• 当曲面轮廓满足特定条件时，球体静止于顶点且具有任意垂直角速度的平衡点是谱稳定的，尤其在非凸形状下表现显著。
• 对于kasamawashi艺术中使用的锥形轮廓，平衡点的谱稳定性依赖于距顶点的距离，其稳定性特性沿曲面变化。
• 5维SO(3)约化系统为研究顶点附近的动力学提供了一个正则框架，克服了SO(2)约化系统中的奇异性。
• 通过修改势能和反力项以考虑曲面倾角，运动方程的推导方式确保了在整个相空间（包括顶点）的连续延拓。