[论文解读] On Some Classes of Open Two-Species Exclusion Processes

Arvind Ayyer, Joel L. Lebowitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文研究了具有通用进出速率和体相跃迁速率的开放一维双物种完全不对称排除过程（2-TASEP）的非平衡稳态（NESS）。通过矩阵猜测法与耦合技术，该文在特定速率条件下推导出粒子流与相图的显式表达式，并证明了在所有三种物种的密度分布中均存在间断的随机位置激波——此前此类现象在类似系统中尚未被观测到。

ABSTRACT

We investigate some properties of the nonequilibrium stationary state (NESS) of a one dimensional open system consisting of first and second class (type 1 and type 2) particles. The dynamics are totally asymmetric but the rates for the different permitted exchanges (10 -> 01, 12 -> 21, and 20 -> 02) need not be equal. The entrance and exit rates of the different species can also be different. We show that for certain classes of rates one can compute the currents and phase diagram, or at least obtain some monotonicity properties. For other classes one can obtain a matrix representation of the NESS; this generalizes previous work in which second class particles can neither enter nor leave the system. We analyze a simple example of this type and establish the existence of a randomly located shock at which the typical density profiles of all three species are discontinuous.

研究动机与目标

• 分析具有非对称动力学和通用进出速率的开放双物种排除过程的非平衡稳态（NESS）。
• 通过允许第二类粒子进出系统，扩展先前基于半透边界条件的矩阵猜测结果。
• 表征粒子流对体相与边界速率的依赖关系，特别关注相变与激波特性的形成。
• 建立激波存在的证明，即所有三种物种（第一类、第二类及空位）的密度在同一位点同时出现间断。
• 通过精确矩阵猜测法与蒙特卡罗模拟，验证激波的平稳性与空间均匀分布特性。

提出的方法

• 应用矩阵猜测法，为具有通用体相与边界速率的一类2-TASEP模型构造非平衡稳态（NESS）。
• 使用着色技术将双物种系统投影到单物种TASEP上，从而实现对流与密度分布的分析。
• 采用耦合论证比较不同边界速率下的系统，推导出流的单调性性质。
• 通过条件化右端第二类粒子的位置（即激波特位），推导出线性密度分布。
• 通过计算矩阵元中第二类粒子位置的概率，证明激波在系统中均匀分布。
• 通过无限均匀系统的蒙特卡罗模拟验证激波条件，计算流并验证激波处的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种体相与边界速率条件下，可使用矩阵猜测法显式计算开放2-TASEP的NESS？
• RQ2 第一类、第二类粒子与空位的粒子流如何依赖于进入与退出速率？其单调性性质如何？
• RQ3 在NESS中，密度分布间断（激波）的性质是什么？在何种条件下涉及所有三种物种？
• RQ4 在具有通用速率的2-TASEP中，是否存在一种激波，使得所有三种物种的密度在同一位置同时出现间断？
• RQ5 该激波是否具有零净漂移速度的平稳性？其在晶格上的位置如何分布？

主要发现

• 在特定速率类下（$v = 1$，$w = \text{常数}$，$\beta = \text{常数}$），本文推导出所有三种物种的显式线性密度分布：$\rho_1 = \alpha$，$\rho_2 = \frac{(1-2\alpha)(w-\alpha)}{w(1-\alpha)}$，$\rho_0 = \frac{\alpha(1-2\alpha + \alpha w)}{w(1-\alpha)}$。
• 激波位于最靠右的第二类粒子位置，其在系统中均匀分布，每个格点处的概率约为$\frac{1}{L}$。
• 在给定激波特位$i$的条件下，系统分解为两个独立子系统：左侧子系统出口速率为$\beta = 1$，右侧子系统入口速率为$w$、出口速率为$\alpha$。
• 在左侧子系统中，第一类粒子密度恒为$\rho_1 = \alpha$，第二类粒子密度恒为$\rho_2 = r_2$，空位密度为$\rho_0 = r_0$。
• 在右侧子系统中，系统处于高密度相，满足$\rho_1 = 1 - \alpha$，$\rho_0 = \alpha$，$\rho_2 = 0$，前提是$\alpha < w$。
• 激波是平稳的，无净漂移，且在激波处满足$J_i(\vec{r};1,w) = J_i(\vec{r}';1,w)$（$i=0,1,2$），该条件通过无限系统蒙特卡罗模拟得到验证。