[论文解读] On some Definite Integrals involving the Hurwitz Zeta function

Olivier Espinosa, Victor H. Moll|ArXiv.org|Dec 11, 2000

Advanced Mathematical Identities参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文推导了一系列涉及Hurwitz zeta函数的定积分，通过利用zeta函数的积分表示和解析延拓，建立了伯努利多项式、$\nabla\Gamma(q)$ 和 $\nabla\sin(q)$ 积分的新公式。主要贡献在于通过极限过程和极点附近的洛朗展开，实现了对多分次函数和digamma函数积分的闭式求值。

ABSTRACT

We establish a series of integral formulae involving the Hurwitz zeta function. Applications are given to integrals of Bernoulli polynomials, log Gamma(q) and log sin(q).

研究动机与目标

• 推导涉及Hurwitz zeta函数的新定积分公式，这些公式在标准积分表中较为稀少。
• 通过线性关系将初等函数和特殊函数（如 $\nabla\Gamma(q)$、$\nabla\sin(q)$ 和伯努利多项式）的积分与Hurwitz zeta函数联系起来。
• 通过取基于zeta函数的积分表示的极限，对多分次函数 $\nabla^{(m)}(q)$ 和digamma函数 $\nabla(q)$ 的积分进行求值。
• 利用洛朗展开和zeta函数的特殊值，提供 $q^n \nabla^{(m)}(q)$ 和 $q^n \nabla(q)$ 积分的闭式求值。

提出的方法

• 利用Hurwitz zeta函数的积分表示推导积分公式：$\zeta(z,q) = \frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^\infty \frac{e^{-qt}}{1-e^{-t}} t^{z-1} dt$，其中 $\mathop{\rm Re}(z)>1$，$\mathop{\rm Re}(q)>0$。
• 通过Hermite的积分表示应用解析延拓，将结果扩展到初始收敛区域之外。
• 利用关系式 $\psi^{(m)}(q) = (-1)^{m+1} m! \zeta(m+1,q)$，将多分次函数的积分表示为Hurwitz zeta函数的形式。
• 在一般积分公式中对 $z \to m+1$ 取极限，以提取洛朗展开中奇点部分和有限部分的系数。
• 使用 $\zeta(1-\varepsilon)$、$\zeta(-r-\varepsilon)$ 和Pochhammer符号 $(-m)_{k+1}$ 的展开，处理 $\varepsilon \to 0$ 极限下的极点和奇点。
• 利用已知恒等式如 $\sum_{r=0}^j (-1)^r \binom{j+1}{r} \zeta(-r) = -\frac{1}{j+2}$ 来抵消发散项，确保结果为有限值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地利用积分表示和解析延拓来求值涉及Hurwitz zeta函数的定积分？
• RQ2 如何用zeta函数和调和数表示 $\int_0^1 q^n \psi^{(m)}(q) dq$（$n > m$）的闭式求值？
• RQ3 $\nabla\Gamma(q)$ 和 $\nabla\sin(q)$ 的积分如何通过线性恒等式与Hurwitz zeta函数关联？
• RQ4 当 $z \to 1$ 时，积分 $\int_0^1 q^n \psi(q) dq$ 的行为如何？如何通过洛必达法则和zeta函数展开进行求值？
• RQ5 zeta基积分的洛朗展开中的发散项能否系统性地抵消，从而得到有限且闭式的求值结果？

主要发现

• 推导出 $\int_0^1 q^n \psi^{(m)}(q) dq$ 的闭式表达式为 $(-1)^m \frac{n!}{(n-m)!} \left[ \frac{\gamma}{n-m+1} + (n-m)! \sum_{k=0}^{m-2} \frac{\Gamma(m-k)\zeta(m-k)}{(n-k)!} + \sum_{k=0}^{n-m-1} (-1)^k \binom{n-m}{k} \left( H_k \zeta(-k) + \zeta'(-k) \right) \right]$，适用于 $n > m$。
• 积分 $\int_0^1 q^n \psi(q) dq$ 的求值结果为 $\zeta'(0) + \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k \binom{n}{k} \left( H_k \zeta(-k) + \zeta'(-k) \right)$，通过取 $z \to 1$ 的极限和洛必达法则推导得出。
• 洛朗展开中 $1/\varepsilon$ 奇点的系数因恒等式 $\sum_{r=0}^j (-1)^r \binom{j+1}{r} \zeta(-r) = -\frac{1}{j+2}$ 而消失，确保结果为有限值。
• 伯努利多项式的积分、$\nabla\Gamma(q)$ 和 $\nabla\sin(q)$ 的积分被证明是主定理的特殊情况，通过涉及Hurwitz zeta函数的线性关系实现。
• $\int_0^1 q^n \psi^{(m)}(q) dq$ 的求值依赖于展开式 $\Gamma(m+1) \frac{\Gamma(1-\varepsilon)}{\Gamma(m+1-\varepsilon)} = 1 + H_m \varepsilon + O(\varepsilon)$ 和 $\Gamma(m+1) \frac{\Gamma(-r-\varepsilon)}{\Gamma(m+1-\varepsilon)} = \frac{(-1)^{r+1}}{r!} \left[ \frac{1}{\varepsilon} + H_m - H_r \right] + O(\varepsilon)$。
• 本文确认积分 $\int_0^1 q^n \psi(q) dq$ 为有限值，且可表示为负整数处zeta函数值及其导数的组合，发散项在抵消后完全消失。