[论文解读] On some Free Boundary Problems of the Prey-predator Model

Mingxin Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文研究一维Lotka-Volterra猎物-捕食者模型中的自由边界问题，其中传播前沿由移动边界 $ h(t) $ 决定。建立了传播-灭绝二分法：物种要么成功扩散并持续存在，要么渐近灭绝，其判据取决于初始栖息地大小和自由边界移动系数 $ \mu $。结果表明，渐近传播速度的上界不超过整个空间中行波解的最小速度。

ABSTRACT

In this paper we investigate some free boundary problems for the Lotka-Volterra type prey-predator model in one space dimension. The main objective is to understand the asymptotic behavior of the two species (prey and predator) spreading via a free boundary. We prove a spreading-vanishing dichotomy, namely the two species either successfully spread to the entire space as time $t$ goes to infinity and survive in the new environment, or they fail to establish and die out in the long run. The long time behavior of solution and criteria for spreading and vanishing are also obtained. Finally, when spreading successfully, we provide an estimate to show that the spreading speed (if exists) cannot be faster than the minimal speed of traveling wavefront solutions for the prey-predator model on the whole real line without a free boundary.

研究动机与目标

• 理解猎物与捕食者种群在一维空间中通过自由边界传播的长期空间动力学。
• 为两物种系统建立传播-灭绝二分法，以确定物种是持续存在还是灭绝。
• 基于初始栖息地大小和自由边界移动系数 $ \mu $，推导传播与灭绝的判据。
• 分析解的长时间行为，包括在不同捕食制度下的稳态收敛性。
• 比较自由边界模型中的渐近传播速度与全空间问题中行波解的最小速度。

提出的方法

• 构建三种自由边界问题：一种为左端固定、右端自由（DFB）；一种为左端满足Neumann条件、右端自由（NFB）；一种为双侧自由边界（TFB）。
• 在 $ x = h(t) $ 处施加自由边界条件 $ h'(t) = -\mu(u_x + \rho v_x) $，将入侵速度建模为猎物与捕食者种群梯度的线性组合。
• 应用比较原理及上下解方法，分析长时间行为与传播判据。
• 利用对应全空间问题的行波解理论，推导传播速度的上界。
• 采用Schauder型估计与正则性理论，证明解在Hölder空间中的整体存在性与唯一性。
• 在不同初始数据与边界条件下分析系统，推导种群持久或灭绝的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，猎物与捕食者种群能成功扩散至整个空间，又在何种条件下会灭绝？
• RQ2 初始栖息地大小与自由边界移动系数 $ \mu $ 如何影响传播或灭绝的结果？
• RQ3 当传播发生时，解的长时间行为如何，特别是在弱捕食与强捕食情形下？
• RQ4 自由边界模型中的渐近传播速度是否可能超过全空间系统中行波解的最小速度？
• RQ5 与双侧自由边界情形相比，固定端施加Dirichlet或Neumann边界条件如何影响传播动力学？

主要发现

• 传播-灭绝二分法成立：要么 $ \lim_{t \to \infty} h(t) = \infty $ 且两种物种均持续存在，要么 $ \lim_{t \to \infty} h(t) < \infty $ 且两种物种均灭绝。
• 若初始栖息地大小 $ h_0 \geq \Lambda $，其中 DFB 情形下 $ \Lambda = \pi \min\{\sqrt{d/c}, 1\} $，NFB 情形下 $ \Lambda = \frac{\pi}{2} \min\{\sqrt{d/c}, 1\} $，则无论初始种群大小如何，传播均会发生。
• 对于NFB模型，若 $ ac < 1 $ 且 $ ab < 1 $，则当 $ t \to \infty $ 时，有 $ u(t,x) \to \text{const} > 0 $，$ v(t,x) \to \text{const} > 0 $；若 $ ac > 1 $，则 $ u(t,x) \to 0 $，$ v(t,x) \to c $。
• 对于DFB模型，在 $ a(b+c) < 1 $ 条件下，解满足一致有界性：$ \underline{u}(x) \leq \liminf u(t,x) \leq \limsup u(t,x) \leq \bar{u}(x) $，对 $ v $ 亦有类似一致有界性，且在紧子集上成立。
• 当传播发生时，若渐近传播速度存在，则其不能超过全空间系统中行波解的最小速度。
• 移动系数 $ \mu $ 起关键作用：若 $ \mu > \mu^* $，即使初始栖息地较小，传播也会发生；若 $ \mu < \mu_* $，则无论初始种群大小如何，灭绝都会发生。